Una categoría de Lusternik-Schnirelman para complejos simpliciales

Abstract

In this memory, we will work with a Lusternik-Schnirelmann category for simplicial complexes. The discrete version of Morse theory due to Robin Forman is a powerful combinatorial tool in the study of topology, its use involves the overlap of these fields. Inspired by the success of discrete Morse theory, Aaronson and Scoville gave the first steps in de ning a discrete version of the Lusternik Schnirelmann category suitable for simplicial complexes. This invariant is based on collapsibility as opposed to contractibility, and is de ned in the spirit of the geometric category of a topological space. We prove some basic results of this theory, showing where it agrees and differs from that of the smooth case. In addition we will give a discrete version of the Lusternik Schnirelmann theorem relating the number of critical points of a discrete Morse function to the discrete category of the simplicial complex on which the function is defined. At the end of this work, we give an algorithm which yields an upper bound for the discrete category. We show our algorithm is correct and give bounds for the discrete category of well-known simplicial complexes.

En esta memoria, trabajaremos con una de las nociones de categoría de Lusternik-Schnirelmann para complejos simpliciales. La versión discreta de la Teoría Morse, de Robin Forman, es una poderosa herramienta combinatorial en el estudio de la topología, su uso implica la superposición en estos campos. Inspirándose en la Teoría Morse discreta, Aaronson y Scoville dieron una versión discreta de la categoría de LusternikSchnirelmann para complejos simpliciales. Este invariante está basado en la colapsabilidad en lugar de la contractabilidad, y se de ne siguiendo las ideas de la categoría geométrica para un espacio topológico. Mostraremos algunos resultados básicos de esta teoría, viendo coincidencias y diferencias con el caso continuo. Además, daremos una versión discreta del Teorema de Lusternik-Schnirelmann, que relaciona el número de puntos críticos de una función Morse discreta con la categoría discreta del complejo simplicial sobre el que está de nido. Al nal de este trabajo, mostramos un algoritmo para obtener una cota superior de la categoría discreta. Demostraremos que dicho algoritmo es correcto y daremos cotas para la categoría discreta de varios complejos simpliciales conocidos.