El teorema de Kahane-Katznelson-de Leeuw

Abstract

A lo largo de este trabajo, nuestro objetivo será estudiar el tamaño de los coeficientes de Fourier en diferentes espacios de funciones. Para ello, en el primer capítulo recordamos definiciones y nociones básicas del Análisis Funcional y, en particular, del Análisis de Fourier. Una vez hecho esto, en el segundo capítulo nos centramos en el primer espacio con el que trabajaremos: el espacio de las funciones integrables. Por un lado, gracias al Lema de Lebesgue-Riemann, tenemos que los coeficientes de Fourier de funciones integrables convergen a cero, pero ¿se puede decir algo mejor sobre el tamaño de los coeficientes? Aunque se puede probar que las sucesiones que son coeficientes de Fourier de funciones integrables no cubren todo c0(Z), veremos que, en cuanto al tamaño, no podemos decir nada mejor. La forma de la que abordaremos esto será probando que, dada una sucesión {an}n∈Z de números positivos verificando que l´ım|n|→+∞ an = 0, existe una sucesión {bn}n∈Z formada por los coeficientes de Fourier de cierta función integrable, de manera que bn ≥ an. De este modo veremos que la respuesta a este problema es negativa y, por tanto, no podemos decir nada mejor sobre el tamaño de los coeficientes de Fourier que el Lema Riemann-Lebesgue. En el capítulo 3, nos centraremos en analizar el tamaño de los coeficientes de Fourier en el espacio de funciones continuas. Por la desigualdad de Bessel, sabemos que éstos están en l2(Z), pero ¿se puede decir algo mejor? Veremos a lo largo de esta sección que, de nuevo, la respuesta es negativa. Para ello haremos uso del llamado Teorema de Kahane-Katznelson-de Leeuw, teorema que da nombre al trabajo y del que, en este capítulo, daremos la demostración original, que apareció en [K. de Leeuw, Y. Katznelson, and J.-P.Kahane Sur les coefficients de Fourier des fonctions continues C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 285, 1977.] publicado en el año 1977. Este resultado nos dice que dada cualquier sucesión {an}n∈Z de números positivos y de cuadrado sumable, existe una sucesión {bn}n∈Z formada por los coeficientes de Fourier de cierta función continua 2π-periódica, de manera que |bn| ≥ an. Aquí no podemos exigir que los bn sean positivos, pues es bien conocido que si los coeficientes de Fourier de una función acotada son positivos, entonces dichos coeficientes están en l1(Z). Para demostrar este teorema usaremos herramientas basadas en métodos probabilísticos y series de Fourier aleatorias. Entre dichas herramientas se encuentra la llamada "Desigualdad de Khintchine", la cual usaremos para obtener un resultado menos general para los espacios Lp, es decir, veremos que, fijado 2 ≤ p < +∞, y dada cualquier sucesión {an}n∈Z de números positivos y de cuadrado sumable, existe una sucesión {bn}n∈Z formada por los coeficientes de Fourier de cierta función de Lp verificando |bn| ≥ an. Más tarde, resolveremos el problema anterior para p = +∞. Para ello realizaremos una demostración constructiva basada en la siguiente propiedad: a partir de la sucesión {an}n∈Z dada, y mediante una elección adecuada de signos {εn}n∈Z, veremos que la función f cuyos coeficientes de Fourier verifican fb(n) = εnan, puede descomponerse como f = g + h, donde g es una función acotada y h es otra función con una norma 2 pequeña. Gracias a esta propiedadad realizaremos un proceso iterativo que nos llevara a la solución. Finalmente, haciendo uso de la convolución, extenderemos este resultado al caso de funciones continuas, probando así nuestro objetivo. En el capítulo 4, usando las ideas del artículo de Nazarov, empezaremos definiendo el llamado "Problema del Soporte". Este problema dice lo siguiente: Dado A un subconjunto del Toro de medida positiva, y jado p ≥ 2, ¿Es cierto que dada una cualquier sucesión de números positivos {an}n∈Z ∈ l2(Z) existe F ∈ L p (A) tal que, para todo n, se tiene que Fb(n) ≥ an? (Entendiéndose Lp (A) como el conjunto de las funciones de Lp(T) cuyo soporte está contenido en A) A lo largo del capítulo daremos una respuesta afirmativa a dicha cuestión abordándolo con diversos métodos analíticos, en especial, maximizando un funcional adecuado en cierto conjunto compacto. Además el "Problema del Soporte" nos dará pie a una nueva generalización para el caso de los espacios Lp, en la cual pasaremos de trabajar con los coeficientes de Fourier (producto escalar con la base trigonométrica) a productos escalares con sistemas de funciones {ψj}j∈Z que simplemente verifican la condición de Bessel. A lo largo del capítulo 5, volveremos a plantearnos los problemas de la sección anterior, pero esta vez desde un punto de vista geométrico. Con esta nueva visión del problema extenderemos las generalizaciones anteriores al caso del espacio funciones continuas. Para finalizar, en el último capítulo nos centraremos en dos nuevos espacios: el espacio de funciones continuas con coeficientes de Fourier negativos nulos (A(T)), y el espacio de funciones cuyas series de Fourier convergen uniformemente (U(T)). Como introducción de estos espacios, los relacionaremos con espacios de funciones analíticas, dando así nombre al capítulo. El resto del mismo nos centraremos sobre todo en el primer espacio, resolviendo el siguiente problema: Dada una sucesión de números positivos {an}n≥0 de cuadrado sumable, ¿existe alguna función continua f que verifique fb(n) = 0 para todo n < 0, y |fb(n)| ≥ an para todo n ≥ 0? Para abarcar este problema nos basaremos en el artículo de Kislyakov, en el cual se generalizan muchas de las ideas usadas en la prueba del Teorema de Kahane-Katznelson-de Leeuw para extenderlo a nuevos espacios de funciones. Así concluiremos que de los coeficientes de Fourier de las funciones de A(T) tampoco se puede decir nada mejor que el hecho de que son de cuadrado sumable.