Ecuaciones y sistemas en diferencias. aplicaciones de la dinámica de poblaciones

Abstract

Equations and systems in differences have acquired great relevance with the study and simulation of discrete models in the different disciplines that model and study the discrete systems. Equations in linear differences have their importance in the study of population dynamics, that is, the study of biological populations from the point of view of their size, age and sex and other parameters than those define. Population dynamics uses mathematical equations to model the behaviour of populations, in order to predict the numerical changes that populations suffer, determine their causes, predict their behavior and analyse their ecological consequences. One of the most common models of population growth is the so-called Leslie model, developed in the 1940s, which describes the growth of the female part of a population by classifying females by age at intervals of equal number of years. An alternative to Leslie’s model is the one known as the Lefkovitch model, which divides individuals from the population in stages instead of age classes. If we become interested in changing a system over time, the term discrete dynamic system will appear and together with it, the distinction between linear and non-linear dynamic systems, being Ricker ’s model one of the most influential among the non-linear ones based on the evolution of a salmon population. This study will lead us to observe that certain models can go from having a deterministic behavior to a chaotic behavior, thus introducing Chaos Theory and, therefore, the difficulty of specifying (and, consequently, of predicting) in detail the long-term behavior of the system’s orbits.

Las ecuaciones y sistemas en diferencias han adquirido una gran relevancia con el estudio y simulación de modelos discretos en las diferentes disciplinas que modelan y estudian los sistemas discretos. Las ecuaciones en diferencias lineales tienen su importancia en el estudio de dinámica de poblaciones, esto es, el estudio de las poblaciones biológicas desde el punto de vista de su tamaño, estructuración en edad y sexo y otros parámetros que las definen. La dinámica de población modela mediante ecuaciones matemáticas el comportamiento de las poblaciones, para así poder predecir los cambios numéricos que sufren, determinar sus causas, predecir su comportamiento y analizar sus consecuencias ecológicas. Uno de los modelos más comunes del crecimiento poblacional es el llamado modelo de Leslie, desarrollado en la década de 1940, el cual describe el crecimiento de la parte femenina de una población clasificando a las hembras por edades en intervalos de igual número de años. Una alternativa al modelo de Leslie el que se conoce como modelo de Lefkovitch, el cual clasifica a los individuos de la población en etapas, en lugar de clases de edades. Interesándonos por el cambio de un sistema en el tiempo aparecerá el término de sistema dinámico discreto y con él, la distinción entre sistemas dinámicos lineales y no lineales, siendo el modelo de Ricker uno de los más influyentes dentro de los no lineales basado en la evolución de una población de salmones. Este estudio nos llevará a observar que ciertos modelos pueden pasar de tener un comportamiento determinista a un comportamiento caótico, introduciendo así la Teoría del Caos, y por tanto, la dificultad de precisar (y, en consecuencia, de predecir) con detalle el comportamiento a largo plazo de las órbitas del sistema.