D-Módulos algebraicos y cohomología de familias de Dwork

Abstract

Una familia de Dwork es una deformación monomial uniparamétrica de una hipersuperficie de Fermat. Debido a su conexión con las funciones L de sumas de Kloosterman y la simetría espejo, entre otras aplicaciones, resultaría deseable calcular algebraica y p-´adicamente la parte invariante por la acción de cierto grupo de automorfismos de su cohomología de Gauss-Manin. Como paso previo, en esta tesis se lleva a cabo dicho cálculo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, usando de un modo puramente algebraico aspectos diversos de la teoría de D-módulos, como los formalismos de las seis operaciones de Grothendieck, losD-módulos de Hodge mixtos o la transformada de Fourier, destacando importantes resultados debidos principalmente a Katz sobre D-módulos en dimensión uno e hipergeométricos. Probamos también algunos resultados complementarios; los principales son la presentación de una relación entre los exponentes de un complejo de cohomología de Gauss- Manin y la aciclicidad de un complejo de Koszul, y la existencia de dos sucesiones espectrales de tipo Mayer-Vietoris para la localización de un complejo de D-módulos, finalizando con el cálculo de la cohomología del complemento abierto de un arreglo de hiperplanos arbitrario.