Teoría de haces

Abstract

La creación de la teoría de haces en plena Segunda Guerra Mundial, unida a su difusión en los años inmediatamente posteriores, marcó el nacimiento de una herramienta matemática increíblemente fructífera. En conjunción con la teoría de categorías de S. Mac Lane y S. Eilenberg, y gracias a los trabajos de matemáticos como J. Leray, H. Cartan, A. Weil y A. Grothendieck, la teoría de haces ha conocido multitud de aplicaciones en áreas matemáticas muy variadas, brillando especialmente en los campos de la topología algebraica, la geometría algebraica y el análisis algebraico. En el presente texto daremos una pequeña introducción a la teoría de haces. Con el objetivo de que esta memoria resulte lo más autocontenida posible, comenzamos presentando nociones básicas de teoría de categorías. En el lenguaje de las categorías la presentación de la teoría de haces resulta extremadamente sencilla y natural. Además de la definición de categoría, presentamos los conceptos de funtor y transformación natural. También introducimos la versión categórica de conceptos bien conocidos en otras áreas de las matemáticas, como los límites y los adjuntos, haciendo referencia previamente a la versátil idea de propiedad universal. Finalizamos presentando un interesante tipo de categoría: las categorías abelianas. A continuación, tratamos la teoría de haces en sí. La construimos a partir del concepto de prehaz. Introducimos también los conceptos de germen y fibra en un punto, así como el de haz asociado. Presentamos asimismo, a modo de cierre, la imagen directa y la imagen inversa por una aplicación continua de un haz. Para finalizar, introducimos una pequeña muestra de la utilidad de la teoría de haces probando un teorema relativo a una ecuación en diferencias finitas mediante técnicas algebraicas. También comentamos someramente algunas otras aplicaciones, relativas al campo de las ecuaciones diferenciales o a la geometría algebraica.

The creation of sheaf theory during World War II, as well as its spread the following years, marked the beginning of an incredibly powerful mathematical tool. Together with category theory, due to S. Mac Lane and S. Eilenberg, and thanks to the work of J.Leray, H. Cartan, A. Weil and A. Grothendieck (among others), sheaf theory has proven itself to be useful in several areas of mathematics, specially in algebra-related fields: algebraic topology, algebraic geometry and algebraic analysis. Throughout this text sheaf theory will be briefly introduced. In the first chapter, and aiming at a selfcontained report, some basics concerning category theory will be commented. Category theory proves itself to be a pretty natural language in which sheaf theory can be developed. The basic concepts of the field (category, functor and natural transformation) will be fully developed as a preface to those of limit, universal property and adjoint. The section finish with a brief discussion about abelian categories. In the second chapter sheaf theory will be treated. It will be developed from the concept of presheaf. Next, germ and stalk of a presheaf on a point, as well as the idea of sheafification, will be explained. This brief introduction to sheaves will end with the introduction of the direct and inverse image of a sheaf by a continuous function. Finally, in the third chapter some applications of sheaf theory will be explored. The proof of a theorem regarding certain finite differences’ equation will be fully developed by algebraic means. Also, some aspects of sheaf theory applied to differential equations and algebraic geometry will be mentioned.