La noción de homotopía para espacios finitos y espacios de Alexandrov

Abstract

El objetivo de este trabajo es detallar la interpretaci´on combinatoria de las equivalencias de homotop´ıa entre espacios finitos y plantear algunos problemas en el caso de A-espacios infinitos. Para ello hemos dividoido el trabajo en dos partes. La Parte I presenta un resumen de Topolog´ıa General y una exhaustiva introducci´on a la topolog´ıa de los A-espacios extra´ıda del trabajo de fin de grado de Alvaro Luque ( ´ [7]), que a su vez es una exposici´on detallada de los primeros cap´ıtulos de [3]. Tambi´en incluimos los resultado de Topolog´ıa Simplicial necesarios para la comparaci´on de la clase de los espacios finitos y la clase de complejos simpliciales (finitos). La Parte II comienza con una introducci´on b´asica a la homotop´ıa de los A-espacios tomada tambi´en de [7]. Como aportaci´on, proponemos una nueva noci´on de homotop´ıa de aplicaciones entre A-espacios basada en la recta de Khalimsky. Seguimos con un estudio detallado de la noci´on de colapso fuerte en [3] y la descripci´on con ellos de las equivalencias de homotop´ıa entre espacios finitos. Terminamos el trabajo con un cap´ıtulo abierto que plantea el problema de encontrar una noci´on de homotop´ıa para la clase de los A-espacios localmente finitos que se corresponda con los colapsos fuertes tipo Siebenmann en complejos simpliciales localmente finitos. Adem´as de las nuevas definiciones de homotop´ıa y colapsos fuertes de Siebenmann, en este trabajo se aportan demostraciones alternativas a algunas de las dadas en [3].

The aim of this project is to give a detailed summary of the combinatorial interpretation of the homotopy equivalences between finite spaces and to pose some problems in the case of infinite A-spaces. In order to do this we have divided this project into two different parts. Part I presents a summary of General Topology and an exhaustive introduction to the topology of A-spaces extracted from Alvaro Luque’s Final Degree Project ( ´ [7]) which in turn is a detailed exposition of the first chapters of [3]. We have also included the results from Simplicial Topology needed to compare the class of finite spaces and the class of simplicial (finite) complexes. Part II begins with a basic introduction to the homotopy of A-spaces, which has also been taken from [7]. As a contribution, we propose a new notion of homotopy of maps between Aspaces based on the Khalimsky line. We continue with a detailed study of the notion of strong collapse in [3] and its use in describing homotopy equivalences between finite spaces. We finish this project with an open chapter that poses the problem of finding a homotopy notion for the class of locally finite A-spaces that corresponds to Siebenmann-type strong collapses in locally finite simplicial complexes. Apart from the new definitions of homotopy and strong Siebenmann collapses, this project provides also alternative proofs to some of those given in [3].