La noción de variedad en la clase de espacios de Alexandroff. Superficies cerradas y espacios finitos.

Abstract

Digital topology deals with topological features of 2-D and 3-D digital imagery. Digital images can be represented on a meshed plane or space by means of pixels (2-D) and voxels (3-D), so that they can be managed by using graphs where pixels/voxels are their vertices and an edge between two pixels/voxels carries the adyacency information beween them. However, this combinatorial structure is not suitable to describe in a systematic way the perception of pixels/voxels in a digital image. Several approaches are known in the literature for a proper mathematical handling of images from a topological and geometrical point of view. The core of our study focuses on the notion of discrete or digital manifold proposed by Erik Melin in [7]. We first summarize the topological properties of Alexandroff spaces and its equivalence with ordered sets as well as the inherent adjacency relationship defined by both kind of structures. Additionally, we also analyze the relationship between Melin constructions and other digital manifold structures for dimensions ≤ 2. Finally, we discuss the separation problem in such dimensions.

La topología digital se ocupa de las propiedades o características topológicas de las imágenes digitales bidimensionales y tridimensionales. Dichas imágenes se pueden representar sobre un plano o espacio reticulado mediante píxeles (en dos dimensiones) y vóxeles (en tres dimensiones). Por lo tanto pueden ser tratadas como grafos donde los vértices representan los píxeles (vóxeles) y las aristas contienen la información del grado de adyacencia entre estos. Sin embargo, esta estructura combinatoria no es muy adecuada para describir de manera sistemática la percepción de los píxeles (vóxeles) de una imagen digital. El tratamiento matemático de estas imágenes desde el punto de vista topológico/geométrico admite varias aproximaciones según las técnicas utilizadas. Este trabajo se centra en la noción de variedad discreta o digital propuesta por Erik Melin en [7] para el estudio de imágenes digitales en el espacio reticulado. Se comienza con un repaso de la topología de los espacios de Alexandroff y su equivalencia con los conjuntos ordenados así como de la relación de adyacencia inherente a estas estructuras. El trabajo también relaciona para dimensiones ≤ 2 las construcciones de Melin con otras de la literatura de la topología digital. Asimismo discutimos el problema de separación para objetos digitales en esas dimensiones.