Resultados teóricos y numéricos para problemas de control gobernados por EDOs y EDPs

Abstract

Es un problema recurrente en Matemáticas, Ciencias Naturales y Ciencias Sociales, la búsqueda de una solución óptima frente a una situación o experimento concretos. Esta no suele resultar una tarea sencilla por lo que, en muchos casos, es necesaria la construcción de un Modelo Matemático que nos permita realizar simulaciones del fenómeno en cuestión. En este trabajo vamos a estudiar seis Modelos Matemáticos basados en Ecuaciones Diferenciales con origen en Física y Biología. Para ello, es necesario un amplio abanico de herramientas matemáticas fundamentadas en la Teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, la Teoría de Ecuaciones en Derivadas Parciales Lineales, Análisis Funcional aplicado al Cálculo de Variaciones, Análisis Numérico de EDOs, Métodos Numéricos en Optimización y Programación No Lineal, además de herramientas de Simulación Numérica: utilizaremos los softwares MatLab y FreeFem++. En cada uno de los problemas demostraremos la existencia de control(es) óptimo(s), estudiaremos su unicidad y daremos una caracterización de los mismos para, seguidamente, realizar una aproximación numérica y presentar los resultados obtenidos, con su correspondiente análisis cualitativo e interpretación práctica. Los principales resultados que utilizaremos son el Teorema de Mazur para la convergencia débil, el Teorema de Ascoli - Arzelá de compacidad en espacios de funciones, la Desigualdad de Poincaré, el Teorema de Lax-Milgram y el Teorema de Lions y sus corolarios. En los tres primeros capítulos se tratan problemas de control óptimo de sistemas gobernados por EDOs no lineales. En los tres últimos se abordan problemas gobernados por EDPs lineales. El primer capítulo está dedicado al control óptimo de un modelo que describe la evolución de un paciente con SIDA sometido a terapias específicas. Aparece un inconveniente: el funcional no es cuadrático. Es necesario demostrar la convergencia fuerte de los estados mediante el Teorema de Ascoli-Arzelá. Otra consecuencia es que no se puede garantizar la unicidad de control óptimo. En el segundo capítulo, se describe la evolución de un tumor sometido a quimioterapia y se optimiza el tratamiento aplicado al paciente. Este problema presenta una dificultad añadida: aparecen restricciones en los estados. Sin embargo, usando la expresión del estado, podemos convertirlas en restricciones sobre los controles. El carácter global de estas restricciones complica notablemente el cálculo de las proyecciones. En el tercer capítulo, tratamos el control de la trayectoria de un proyectil. Las principales dificultades aparecen, de nuevo, en la complejidad de las restricciones. En los capítulos cuarto y quinto, se estudian el control óptimo de la carga en un condensador eléctrico y de la aportación de calor en un recinto cerrado mediante una EDP de Poisson y la EDP del calor respectivamente. Se describe el Método de los Elementos Finitos y la discretización en tiempo de problemas de evolución a partir del Método de Euler. Además, se presentan los algoritmos de tipo gradiente y se estudia su convergencia en función de los parámetros del problema. Por último, en el sexto capítulo, se introduce un problema de control biobjetivo. Usamos el concepto de equilibrio de Pareto. Se deducen un resultado de existencia y una condición de optimalidad basada en el Principio de Lagrange. Finalmente se aplican resultados a un modelo de control de la temperatura en una habitación.

It is a recoursive problem in Mathematics, Natural Sciences and Social Sciences, the search for an optimal solution for a situation or a precise experiment. It is not frequently a simple task the construction of a Mathematical Model that allows us to perform simulations of the phenomena in question. In this work we are going to study six Mathematical Models based on Differential Equations with origin in Physics and Biology. To this purpose, a wide range of mathematical tools from the Theories of Ordinary Differential Equations (ODEs), Linear Partial Differential Equations (PDEs), Functional Analysis applied to the Calculus of Variations, Numerical Analysis of Differential Equations, Numerical Methods in Optimization and Non-Linear Programming, in addition to Numerical Simulation tools; in this area, we will use the MatLab and FreeFem++ tools. In each of the problems we will demonstrate the existence of optimal control(s), we will study uniqueness and we will give a characterization of them to then carry out a numerical approximation and show the results of appropiate experiments, with their corresponding qualitative analysis and interpretation. The main results that we will use are Mazur’s Theorem for the weak convergence, the Ascoli - Arzel´a criteria of compactness in spaces of functions, Poincar´e’s Inequality, the Lax-Milgram Theorem and Lions’ Theorem and their corollaries. The first three chapters deal with optimal control problems for systems governed by non-linear ODEs. In the last three, problems are governed by linear PDEs. The first chapter is devoted to the optimal control of a model that describes the evolution of a patient with AIDS undergoing specific therapies. An inconvenience appears: the functional is not quadratic. It is necessary to demonstrate the strong convergence of states through the Ascoli-Arzel´a Theorem. Another feature is that the uniqueness of an optimal control cannot be guarranteed. In the second chapter, we describe the evolution of a tumor subject to chemotherapy and the treatment applied to the patient is optimized. This problem presents an added difficulty: restrictions appear in the states. Nevertheless, using the state system, we can convert them into restrictions on the controls. The global deffinition of these restrictions considerably complicate the calculation of the projections. In the third chapter, we deal with the control of the trajectory of a projectile. The major difficulties appear, again, in the complexity of the restrictions. In the fourth and fifth chapters, the optimal control of the charge in an electric capacitor using a Poisson PDE and the heat flux governed by a classical parabolic PDE are studied. The Finite Elements Method and the discretization in time of problems of evolution from the Euler Method are described. Also, algorithms of the gradient kind are presented and their convergence depending on the parameters of the problem is analyzedFinally, in the sixth chapter, a biobjective optimal control problem is introduced, relying on the Pareto equilibrium concept. We return to the Poisson PDE used in the fourth chapter. A result of existence and an optimality condition based on Lagrange multipliers are proved. Finally, this is applied in the particular situation of the control of temperature in a room.