Teoría de Juegos: el penalty de Nash

Abstract

Este trabajo pretende explicar y analizar dos de los principales tipos de juegos: los juegos de suma nula y juegos de suma no nula, para finalizar dando un ejemplo real donde se puede aplicar la teoría explicada previamente. El primer caso trata sobre aquellos juegos donde la ganancia de un jugador es lo mismo que la pérdida del otro. En este caso se tratan juegos bipersonales, es decir, sólo hay dos jugadores. Para analizarlos, se representa el juego en forma matricial donde las filas y columnas representan las estrategias de cada jugador. Se trata de ver cuál es la ruta a escoger (estrategia) para poder maximizar la cantidad a ganar. Pero no siempre se va a poder alcanzar, ya que los juegos de suma nula son estrictamente competitivos, es decir, el otro jugador intentará que el oponente pierda la mayor cantidad posible para beneficio propio. Por lo tanto, se pretende que el riesgo de pérdida sea el mínimo, definiéndose así estrategias de seguridad donde el jugador se pone en el peor de los supuestos e intenta elegir el mejor entre los peores casos. Para buscar una situación estable (equilibrios) y poder dar un valor solución del juego que garantice la mínima pérdida posible, se utiliza la probabilidad. Se prosigue definiendo las estrategias más favorables para los jugadores, estrategias óptimas, para finalizar con dos clases especiales de juegos de suma nula donde el valor del juego está perfectamente determinado al tener la matriz de ganancias con una serie de características peculiares. Posteriormente, se introducen los juegos donde las recompensas recibidas no son antagónicas, los juegos de suma no nula. En este caso, se tratan de juegos donde puede haber más de dos participantes, aunque ocasionalmente se restringirá a juegos bipersonales para mejor comprensión. Seguidamente se definirán cómo son las estrategias de seguridad en este caso. De nuevo, los jugadores no se centran exclusivamente en obtener un cierto resultado, sino también en las posibilidades que tienen de lograrlo, extendiéndose de estrategias puras, donde no se usan probabilidades, a estrategias mixtas. A continuación se presentan el equilibrio de Nash, situación donde los jugadores no se sienten tentados a cambiar de estrategia, ya que puede provocar un descenso en las ganancias. Por último, al haber equilibrios más favorables para unos jugadores que para otros, se estudian aquellos en estrategias mixtas conjuntas. Para terminar se ve una aplicación empírica de la teoría de juegos: los lanzamientos de penalties. Se trata de una situación de juego de suma nula donde las estrategias están totalmente determinadas. Se comenzará explicando las características del juego para continuar describiendo las estrategias mixtas en este caso. Luego se proporcionan datos extraídos de más de 1400 penalties para después comprobar que existe un equilibrio en este juego. Se concluye viendo el interés de este estudio frente a otras aplicaciones y dónde se ha usado este análisis.

This dissertation pretends to explain and analize two of the main types of games: the zero-sum games and the nonzero-sum games, to end giving and empiric sample where the theory explained previously can be applied. The first case consists of those games where the profit of a player is the same as the loss of the other one. The games that will be explained are two person games. In order to analyse them, the games are represented in a cuadratic matrix where the rows and columns symbolize the different strategies of each player. The participants will try to maximize their gains, but it will not be always possible, because, the zero-sum games are strictly competitive in the sense that the other player will intend that the opponent lose as much as possible for his/her own benefit. Therefore, the loss of risk should be minimal, defining then security strategies where the player supposes the worst situations and he/she tries to choose the best one between the deficients. For looking for a steady situation and to give a solution value which guarantees the minimum possible loss. It continues by defining the most favorable strategies for the players, optimal strategies, to end up with two special classes of zero-sum games where the value of the game is perfectly determined because of the matrix caracteristics. Later, the games where the received rewards are not opposite are introduced, the non-zero sum games. In this case, there could be more than two player, but, sometimes, it will be restringed to bipersonal games for better understanding. Next, the security strategies are defined in this case. Again, the players are not exclusively foccused on obtaining a certain result, but also on the probabilities to achieve it, extending from pure strategies, where probabilities are not used, to mixed strategies. Inmediantly after, the Nash equilibrium is presented, a situation where the players are not tempted to change their strategies, because the deviation of it could produce a decrease on their gains. Finally, as some equilibrium situations are more favorable for certain players than others, the equilibriums on joint mixed strategies are studied. To conclude a real situation of game theory is analysed: penalty kicks in football. It consists of a zero-sum game where the strategies are perfectly defined. Beginning by explaining the caracteristics of the game, to continue describing the mixed strategies in this case. Next data are provided extracted from more than 1400 penalties, in order to show that there exists an equilibrium in this game. To finsh, it is shown the interest of this research against other applications and how it has been used.