La paradoja de Banach-Tarki

Abstract

En este TFG nuestro objetivo será probar la paradoja de Banach-Tarski, la cual nos dice que: dados dos subconjuntos acotados X e Y de R3, con interior no vacío, existiría un número natural n y particiones {Xj : 1 ≤ j ≤ n} e {Yj : 1 ≤ j ≤ n} de X e Y respectivamente (cada una de n partes) de forma que Xj es congruente con Yj para todo j. Que sean congruentes implica que existe una isometría en R3 que transforma Xj en Yj . Para probarlo, usaremos como guía las versiones de la demostración de Karl Stromberg y Stan Wagon. Finalmente, reservaremos el último capítulo para analizar el motivo por el que no existe una paradoja similar en in R y R2.

In this work the objetive will be the proof of the Banach-Tarski paradox. It states that given two bounded subsets X and Y of R3, each having nonempty interior, then there is a natural number n and partitions {Xj : 1 ≤ j ≤ n} and {Yj : 1 ≤ j ≤ n} of X and Y respectively (into n pieces each) such that Xj is congruent to Yj for all j. Congruent means that,for each j, there is an isometry of R3 that transform Xj to Yj. To prove it, we will use as guide the Karl Stromberg’s and Stan Wagon’s versions of the proof. Finally, the last chapter is reserved to analyze the reason why it is not possible a similar paradox in R and R2.