Cálculo explícito de Elementos de Frobenius en Grupos de Galois

Abstract

In the XIX century David Hilbert proposed a problem in Galois Theory that remains unanswered today, “Every finite group appears as the Galois group of some Galois extension of the rational numbers” A related question that arose as result of it is if, given a finite group G, we can nd families of parametric polynomials with coefficients in ℚ whose finite Galois extension K/∕ℚ has its Galois group isomorphic to G for almost every value of the parameters. The goal of this dissertation is, given a known family of parametric polynomials fa(x) with Galois group G and K its splitting field over ℚ for some value of a, take a prime p ∈ ℚ that doesn’t ramify in the Galois extension K/∕ℚ and find the associated Frobenius element Frobenius element Frobp which meets Frobp (x) ≡ xp mod p for all integral x in K and p prime ideal in the ring of integers of K such that p ∩ ℤ matches the ideal generated by p. To reach this objective we have to elaborate the results on Dedekind domains and ideal ramification leading to the definition of the Frobenius element. Once the groundwork is laid we proceed to expound the method of the Dokchitser brothers for the identification of the element for almost every prime ideal p. We will see that it suffices to check if Γc (Tr Fq [x] / fa (x) / Fq (ℎ(x)x p)) = 0 mod p Then we would have Frobp ∈ C, where C is a conjugacy class of G and Γc a polynomial that we will define in section 2.2. We will also make some examples applying the previous procedure as well as add in theorems such as Chevotarev’s Density theorem that will widen our conlclusions.

En el siglo XIX David Hilbert propuso un problema en teoría de Galois que sigue sin tener respuesta a día de hoy, “Todo grupo finito es el grupo de Galois de alguna extensión de los numeros racionales” Una pregunta relacionada que surgió a raíz de ello es si, dado un grupo finito G, podemos encontrar familias de polinomios paramétricos con coeficientes en ℚ cuya extensión finita de Galois K∕ℚ tenga su grupo de Galois isomorfo a G para casi todos los valores de los parámetros. El objetivo de este trabajo es, dada una familia conocida de polinomios paramétricos fa(x) con grupo de Galois G y K su cuerpo de descomposición sobre ℚ para algún valor de a, tomar un primo p ∈ ℚ que no ramifique en la extensión de Galois K/ℚ y encontrar el elemento de Frobenius Frobp asociado que cumple Frobp (x) ≡ xp mod p para todo x íntegro en K y p ideal primo del anillo de enteros de K tal que p ∩ ℤ coincide con el ideal generado por p. Para lograr este objetivo tenemos que desarrollar resultados sobre dominios de Dedekind y ramificación de ideales que nos llevarán a la definición del elemento de Frobenius. Una vez sentadas estas bases procederemos a explicar el método de los hermanos Dokchitser para la identificación del elemento para casi todo ideal primo p. Veremos que nos basta comprobar si Γc (Tr Fq [x] / fa (x) / Fq (ℎ(x)x p)) = 0 mod p, entonces tendríamos que Frobp ∈ C. Siendo C una clase de conjugación de G y Γc un polinomio para cada clase que definiremos en la sección 2.2. Realizaremos también algún ejemplo para aplicar el procedimiento anterior además de añadir algún teorema como el teorema de Densidad de Chevotarev que ampliarán las conclusiones que podremos obtener.