La curva de Hilbert y otras curvas que rellenan áreas o volúmenes

Abstract

El presente trabajo de fin de grado, en su primera parte, estudia con detalle la construcción, propiedades geométricas y analíticas de la curva de Hilbert y de otras curvas similares, que son funciones continuas definidas en el intervalo unidad [0, 1] y con valores en R2 o R3 tales que la imagen del intervalo unidad tiene contenido de Jordan positivo. En la segunda parte del trabajo se explica la construcción de la curva de Lebesgue, la cual se basa en el teorema de Hausdorff que demuestra que todo compacto es imagen continua del conjunto de Cantor. Todo esto sirve de idea para estudiar que tipos de conjuntos de Rn pueden ser la imagen de un intervalo mediante una aplicación continua, es decir, el teorema de Hahn- Mazurkiewick. También se demuestra previamente que una función continua definida del intervalo unidad al cuadrado unidad no puede ser biyectiva. Por último se estudia la existencia de curvas definidas del intervalo unidad a Rn continuas e inyectivas con medida de Lebesgue positiva, como la curva de Osgood.

The present final graduate project, in the first part, studies with details the construction, geometric and analytical properties of the Hilbert’s space-filling curve and others similar curves, which are continuous functions defined in the unit interval [0, 1] and with values in R2 or R3 such that the unit interval image has positive Jordan measure. In the second part of the work, we explain the construction of the Lebesgue curve, which is based on the Hausdorff theorem which shows that every compact is a continuous image of the Cantor set. All this serves as an idea to study what types of sets of Rn can be the image of a range by a continuous application, that is, Hahn-Mazurkiewick’s theorem. It is also shown previously that a continuous function defined from the unit interval to the unit square can not be bijective. Finally, we study the existence of continuous and injective curves defined of the unit interval to Rn with a positive Lebesgue measure, such as the Osgood curve.