Una introducción a las ecuaciones integrales lineales

Abstract

El objetivo de este trabajo es realizar un estudio inicial de las ecuaciones integrales lineales, para ello utilizaremos herramientas del análisis matemático, tanto del análisis funcional, en general, como del de las ecuaciones diferenciales, en particular, vistas durante el grado en Matemáticas y algunas nuevas que introduciremos. En el primer capítulo haremos una introducción a las ecuaciones integrales. Continuaremos en el segundo capítulo con la definición de una ecuación integral y los diferentes tipos que hay. En el tercer capítulo describiremos los principales métodos de resolución mostrando ejemplos en cada uno de ellos. En el cuarto capítulo nos centraremos fundamentalmente en probar la existencia y la unicidad de una ecuación integral mediante la teoría general de los operadores, para ello utilizaremos herramientas de análisis funcional. En el quinto capítulo, estudiaremos distintos tipos de núcleos, como los núcleos de Volterra o los núcleos simétricos. Además destacaremos la importancia de estos últimos y describiremos un proceso de simetrización para los núcleos no simétricos. En el sexto capítulo, expondremos la principal dificultad que se presenta en las ecuaciones de primera especie y trataremos de estudiarlas. Y por último, en el Capítulo 7, veremos algunas aplicaciones que presentan dichas ecuaciones viendo ejemplos físicos.

The objective of this work is to carry out an initial study of the linear integral equations. To this end, we will use tools of mathematical analysis. On the one hand, we will use functional analysis tools in a general way. On the other hand, we will use in particular tools of analysis of differential equations. Some tools have been studied during the degree in Mathematics and others will be introduced. In the first chapter, we will introduce the integral equations. We will continue in the second chapter with the definition of an integral equation and its different types. In the third chapter, we will describe the main methods for solving these equations, showing examples of each one of them. In the fourth chapter, we will focus fundamentally on proving the existence and uniqueness of an integral equation through the general theory of operators. To do this, we will use functional analysis tools. In the fifth chapter, we will study the different types of kernels, such as the Volterra kernels or the symmetric kernels. In addition, we will emphasize the importance of the latter and describe a symmetrization process for non-symmetric kernels. In the sixth chapter, we will explain the main difficulty presented in the equations of the first kind and we will study them. Finally, in the seventh chapter we will see some applications of these equations with physical examples.