Modelado, análisis y simulación, numérica de algunos sistemas que describen la evolución de tumores

Abstract

A raíz de la continua investigación sobre el cáncer, surge toda una serie de nuevas estrategias, técnicas experimentales y descripciones teóricas, con objeto de alcanzar una mayor comprensión cualitativa y cuantitativa del mismo. Una de las aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales y el Análisis Numérico en el ámbito de la Medicina es el planteamiento de modelos matemáticos que describan la dinámica de un tumor. En este trabajo, los modelos son sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias o de ecuaciones en derivadas parciales. Una vez que las ecuaciones hayan sido resueltas (de manera exacta o aproximada), podremos conseguir información sobre la evolución del tumor y, después, determinar, con técnicas propias de la teoría de control, terapias óptimas que conduzcan a situaciones tan favorables como sea posible para el paciente. En el Capítulo 1 introducimos algunas nociones básicas sobre el cáncer. Describimos las distintas fases de crecimiento que atraviesa un tumor hasta que se produce la metástasis. En el Capítulo 2 presentamos distintos modelos de EDOs que describen el crecimiento del tumor e introducimos algunos resultados teóricos sobre la existencia y unicidad de solución. En el Capítulo 3 nos centramos en la determinación de terapias para los modelos propuestos. Presentamos experiencias numéricas con MatLab que permiten comparar la evolución del tumor aplicando, o no, tratamiento. En el Capítulo 4 analizamos otros modelos, basados en EDPs, que, gracias a la geometría esférica del tumor, conseguimos convertir en problemas diferenciales ordinarios.

In the ongoing battle against cancer, a miscellany of new strategies, experimental techniques and theoretical results are emerging in order to reach a deep quantitative and qualitative understanding of this complicated desease. One of the applications of Differential Equations and Numerical Analysis in the field of Medicine is the approach to mathematical models describing the dynamics of a tumor. In this project, the models are systems of ordinary differential equations or partial differential equations. Once the equations are solved (in an exact or approximate way), we will be able to get information about the evolution of the tumor and, after that, determining optimal therapies as favorable as possible for the patient. In Chapter 1 we introduce some basic notions about cancer. We describe the different stages the cancer goes through until metastasis, the most dangerous of them, occurs. In Chapter 2 several ODEs models are proposed to describe the cancer growth and we introduce some theoretical results that guarantees the existence and uniqueness of a solution. In Chapter 3 we focus on determining therapies for the proposed models. We introduce some numerical experiences with MatLab in order to compare the evolution of the tumour with therapy and without it. In Chapter 4 we analyze other models based on PDEs that, because of spherical geometry, we are able to convert in ordinary differential problems.