Soluciones analíticas del problema de Cauchy. teoremas de Cauchy y Cauchy-Kowalewski

Abstract

In first place, the goal of this work is to get a result which guarantees that the Cauchy problem, with certain conditions of analyticity, has a unique analytical solution, and its power series can be obtained. We will also provide a result, the Cauchy-Kowalewski theorem, to guarantee that, in a Cauchy problem defined by a partial differential equation, and with certain hypotheses of analyticity, the analytical solution exists and it is unique, too. We will prove these results by the majorant method. Finally, in last chapter, we will see how to apply the previous result on a Cauchy problem defined by a higher-order PDE. Then, we will study certain surfaces where the initial conditions can’t be given. These surfaces are called characteristic surfaces, and the problem isn’t well defined on them. In order to achieve these objetives, we will need to introduce some notions and results of infinitesimal calculus, as well as the concepts of analytical and majorant functions. We will also provide other results which we will use throughout the project.

El objetivo de este trabajo es obtener, en primer lugar, un resultado que garantice la existencia y unicidad de solución analítica del problema de Cauchy en el que la función de la ecuación diferencial ordinaria que define el problema es analítica en un cierto entorno, concepto que introduciremos en el primer capítulo. Teniendo en cuenta esta hipótesis de analiticidad, se quiere llegar a la conclusión de que el problema posee una única solución analítica, y, además, puede obtenerse su desarrollo de Taylor término a término. Por otro lado, gracias al teorema de Cauchy-Kowalewski, garantizaremos la existencia y unicidad de solución analítica del problema de Cauchy con la particularidad de que, en este caso, la ecuación que define el problema vendrá dada por una ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden. Todo ello bajo ciertas condiciones, la más importante es que los datos iniciales o de Cauchy, y los coeficientes de la ecuación en derivadas parciales son funciones analíticas, y, por tanto, la solución del problema también lo será. Para finalizar, en el último capítulo se verá, en primer lugar, cómo aplicar el resultado anterior sobre un problema de Cauchy definido por una EDP de orden superior al primero. Por otro lado, estudiaremos ciertas superficies donde no pueden darse lo datos iniciales del problema general de Cauchy, esto es, definido por una EDP en forma implícita. Veremos que estas superficies son las denominadas superficies características, y sobre ellas el problema no está bien planteado. Para llevar a cabo estos objetivos necesitamos conocer algunas nociones del cálculo infinitesimal, como son los conceptos de serie numérica y de potencias, y algunos resultados de convergencia de éstas; así como los conceptos de función analítica y función mayorante. También los teoremas de la función inversa e implícita, a los cuales tendremos que recurrir a lo largo del trabajo.