Estudio del error en la interpolación polinómica

Abstract

This dissertation provides a study of the error of Lagrange’s Polynomial Interpolation. It consists of seven chapters that include some topics of the Numerical Analysis. Firstly, we will have introduced a series of basic tools that are also very useful in other fields of Numerical Analysis and that we will use throughout the project. Secondly, we will recall the main results related to the approximation of a function of a real variable by an algebraic polynomial. After that, we will study the error of polynomial interpolation when the nodes are equidistant. In addition, we will analyse the problem of minimizing the oscillations produced in the extremes in the Runge phenomenon and we will study the existence of the polynomial of best approximation. From here, the Weierstrass Theorem is deduced and the approximation of a class C1 function is studied by polynomials that interpolate it to the zeros of the Chebyshev polynomials. Finally, we will conclude the dissertation by considering which choice of nodes uniformly approximate regular functions.

En este trabajo se lleva a cabo un estudio del error de la interpolación polinómica de Lagrange. Consta de siete capítulos que recoge algunos temas del Cálculo Numérico. En los capítulos 1 y 2, hemos introducido una serie de herramientas básicas que también son muy útiles en otros campos del análisis numérico y que utilizaremos a lo largo del trabajo. En el capítulo 3, recordamos los principales resultados relativos a la aproximación de una función de una variable real por un polinomio algebraico. Comenzamos el capítulo introduciendo el concepto de la interpolación polinómica de Lagrange, citando un resultado de existencia y unicidad del polinomio de interpolación y una expresión del error de interpolación, ya estudiada en el grado. En el capítulo 4, estudiaremos el error de la interpolación polinómica cuando los nodos son equidistantes y veremos lo que puede ocurrir en los extremos del intervalo cuando estudiamos el fenómeno de Runge. En el capítulo 5, analizaremos el problema de minimizar las oscilaciones producidas en los extremos en el fenómeno de Runge mediante otra elección de los nodos, en este caso, los ceros de los polinomios de Chebyshev, dando una mejor estimación del error. En el capítulo 6, estudiaremos la existencia del polinomio de mejor aproximación, introduciendo el concepto de Constante de Lebesgue y probando la acotación del grado de aproximación (mínima distancia entre la función y el polinomio de mejor aproximaci´on de grado n) por el módulo de continuidad de la función en el intervalo b − a / n. De aquí se deduce el Teorema de Weierstrass y se estudia la aproximación de una función de clase C1 por polinomios que la interpolan a los ceros del los polinomios de Chebyshev. Finalmente concluiremos el trabajo viendo qué elección de los nodos aproximan uniformemente a funciones regulares.