Operadores de composición y clases de Schatten

Abstract

The main goal of this work is to characterize the membership of composition operators on the Hardy space H2 of the unit disk to the Schatten classes. Firstly, we will study the basic results for compact operators between Banach and Hilbert spaces, and based on the spectral theorem for compact operators we will introduce the operators ideal known as the Schatten classes and we will prove its more important properties. Secondly, we will introduce the Hardy space H2, focusing on composition operators defined on this space. We will prove Littlewood’s theorem, that shows that these operators are continuous, and we will study some basic results about compactness. Moreover, using the pull-back measure we will see that our main problem is equivalent to characterize the membership to Schatten classes of the embeddings from H2 to L2(µ), where µ is a Borel finite measure defined on the unit disc. Finally, we will study the continuity and compactness properties of these embeddings and we will present an alternative, new proof for Luecking’s theorem, that will solve our problem in the general framework and will give us the desired characterization of membership for composition operators to Schatten classes.

El objetivo principal de este Trabajo de Fin de Grado es caracterizar la pertenencia a las clases de Schatten de los operadores de composición en el espacio de Hardy H2. Para ello, introduciremos y estudiaremos las propiedades básicas de los operadores compactos entre espacios de Banach y de Hilbert, y gracias al teorema espectral para operadores compactos entre espacios de Hilbert presentaremos los ideales de operadores conocidos como clases de Schatten y demostraremos sus características más importantes. A continuación, introduciremos el espacio de Hardy H2, centrándonos en los operadores de composición definidos sobre este espacio. Probaremos su continuidad gracias al teorema de Littlewood y estudiaremos sus propiedades más básicas de compacidad. Además, gracias al concepto de medida imagen, probaremos que nuestro problema inicial es equivalente a caracterizar la pertenencia a las clases de Schatten de las inyecciones de H2 en L2(µ), donde µ es una medida boreliana finita en el disco. Finalmente, estudiaremos las propiedades de continuidad y de compacidad de estas inyecciones mediante el concepto de medida de Carleson y presentaremos una prueba novedosa del teorema de Luecking, que resolverá nuestro problema en el marco general y nos dará la caracterización buscada de pertenencia a las clases de Schatten para los operadores de composición.