Cálculo de áreas encerradas por cicloides y trocoides usando el Teorema de Mamikon. Aplicaciones

Abstract

A point on the boundary of a circular disk that rolls once along a straight line traces a cycloid. The cycloid divides its circumscribing rectangle into a cycloidal arch below the curve and a cycloidal cap above it. The area of the arch is three times that of the disk, and the area of the cap is equal to that of the disk. This paper provides deeper insight into this well-known property by applying Mamikon’s sweeping-tangent theorem to show that the ratio 3:1 holds at every stage of rotation. Each cycloidal sector swept by the normal segment from the point of contact of the disk to the cycloid has area three times that of the overlapping circular segment cut from the rolling disk. This surprising result is extended to epicycloids (and hypocycloids), obtained by rolling a disk of radius r externally (or internally) around a fixed circle of radius R. The factor 3 is replaced by (3 + 2r/R) for the epicycloid, and by (3 − 2r/R) for the hypocycloid. This leads to several interesting consequences. For example, for any cycloid, epicycloid, or hypocycloid, the area of one full arch exceeds that of one full cap by twice the area of the rolling disk. Other applications yield (again without integration) compact geometrically revealing formulas for areas of cycloidal radial and ordinate sets. The results are also extended to trochoids, in which the rolling disk rolls around a more general smooth base curve.

Un punto en la frontera de un disco circular rodando a lo largo de una linea recta traza una curva llamada cicloide. La cicloide divide su rectángulo circunscrito en un arco cicloidal bajo la curva y una tapa cicloidal sobre ella. El área del arco es tres veces la del disco, y el área de la tapa es igual a la del disco. Este trabajo proporciona una visión más profunda de esta conocida propiedad aplicando el Teorema del Barrido de las Tangentes de Mamikon para mostrar que la relación 3 : 1 se mantiene en cada etapa de rotación. Cada sector cicloidal formado por los segmentos de recta normal desde el punto de contacto del disco hasta la cicloide tiene tres veces el área del segmento circular del disco rodante. Este sorprendente resultado se extiende a los epicicloides (e hipocicloides), obtenidos al hacer rodar un disco de radio r externamente (o internamente) alrededor de un círculo fijo de radio R. El factor 3 se reemplaza por (3 + 2r/R) para la epicicloide, y por (3−2r/R) para la hipocicloide. Esto lleva a varias consecuencias interesantes. Por ejemplo, para cualquier cicloide, epicicloide o hipocicloide, el exceso del área de un arco completo sobre el área de una tapa completa es dos veces el área del disco rodante. Otras aplicaciones producen (una vez más sin integración) fórmulas compactas y geométricamente reveladoras para áreas de conjuntos cicloidales radiales y de ordenadas. Los resultados también se extienden a las trocoides, en los que el disco rodante gira sobre una curva base diferenciable más general.