El problema de la palabra en los grupos de trenzas

Abstract

The word problem, the conjugacy problem and the isomorphism problem were three fundamental problems of group theory proposed by Max Dehn. We will deal with the first one. This problem consists of: given a group G with a finite presentation hS|Ri and given two elements A, B ∈ G as a product of elements of S and their inverses, decide whether A = B as elements of the group or, equivalently, whether AB−1 = e, where e denotes the identity element. The name of this problem comes from the fact that we can consider the alphabet Σ = S ∪ S −1, where S −1 is the set of inverses of the elements of S, and view G as a language over Σ, where two words A and B represent the same element if and only if one can transform A into B in a finite amount of steps using the rewriting rules given by R and the inverse cancellation. Dehn described algorithms to solve the word problem for the fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds of genus greater than or equal to 2. However, in 1955 Pyotr Novikov found examples of finitely presented groups where the word problem is undecidable, i.e., there cannot be any algorithm to solve it. Nevertheless, the word problem is solvable for many groups. Clear examples of this are the finite groups and the free groups. Here we study the word problem in the braid groups. These groups appear in many branches of mathematics such as algebra, topology and analysis, and the word problem is known to be solvable for them. This project begins giving different equivalent definitions of the braid groups, starting from the intuitive idea of geometric braid. Each definition will give a different perspective and they will provide us more tools to solve the word problem. At the end of the first chapter we shall give some additional definitions and results that will be very important for the rest of the project. In the second chapter we will explain the first known algorithm to solve the word problem in the braid groups, based on representing braids as automorphisms of a free group. In the third chapter we will see another method, called braid combing, based on the solvability of the word problem for the free groups. In the fourth chapter we will explore the Garside structure of the braid groups, which will allow us to solve the word problem by means of a normal form of the elements of the group. In the last chapter, we will present some examples of linear representations that generate another algorithm to solve the word problem. In every chapter there will be concrete examples of solutions of the word problem using each one of the presented methods.

El problema de la palabra, el problema de la conjugación y el problema del isomorfismo fueron tres problemas fundamentales de la teoría de grupos propuestos por Max Dehn. Aquí trataremos el primero de ellos, consistente en: dado un grupo G con una presentación finita hS|Ri y dados dos elementos A y B de G expresados como producto de los elementos de S y sus inversos, decidir si A = B como elementos del grupo o, equivalentemente, si AB−1 = e, donde e representa el elemento neutro. El nombre de este problema proviene de que podemos considerar el alfabeto Σ = S ∪ S −1, donde S −1 representa el conjunto formado por los inversos de los elementos de S, y ver G como un lenguaje sobre Σ, en el que dos palabras A y B representarán el mismo elemento si y solo si se puede transformar A en B mediante un número finito de pasos usando las reglas de reescritura proporcionadas por las relaciones de R junto con la cancelación de inversos. El propio Dehn describió algoritmos para resolver el problema de la palabra en grupos fundamentales de 2-variedades orientables cerradas con género mayor o igual que 2. Sin embargo, en 1955 Pyotr Novikov encontró ejemplos de grupos finitamente presentados donde el problema de la palabra era indecidible, es decir, que no se puede diseñar un algoritmo que lo resuelva. A pesar de esto, hay gran cantidad de grupos donde el problema de la palabra sí es resoluble. Ejemplos claros de ello son los grupos finitos y los grupos libres. Aquí estudiaremos los grupos de trenzas, que aparecen en numerosas ramas de las matemáticas como el álgebra, la topología y el análisis, y en los cuales el problema de la palabra es resoluble. Comenzaremos dando distintas definiciones equivalentes de los grupos de trenzas, partiendo de la idea intuitiva de las trenzas. Cada una de las definiciones aportará un enfoque distinto, lo cual proporcionará más herramientas para la resolución del problema de la palabra. Al final del primer capítulo daremos algunas definiciones y resultados que serán fundamentales para el desarrollo del resto del trabajo. En el segundo capítulo daremos el primer algoritmo diseñado para resolver el problema de la palabra en los grupos de trenzas, consistente en representar estos grupos como automorfismos de un grupo libre. En el tercer capítulo veremos otro método, conocido como peinado de trenzas, basado también en la resolubilidad del problema de la palabra en los grupos libres. En el cuarto capítulo exploraremos la estructura de Garside de los grupos de trenzas, la cual nos permitirá resolver el problema de la palabra mediante el uso de unas formas normales para los elementos de este grupo. Por último, veremos algunos ejemplos de representaciones lineales del grupo de trenzas con los que se puede resolver el problema de la palabra. En cada uno de estos capítulos se mostrarán ejemplos concretos de cómo resolver el problema de la palabra con cada uno de los métodos explicados.