Clasificación de conexiones meromorfas formales en una variable

Abstract

The study of systems of linear differential equations is, since its inception during the XV IIth century, a core and rich area in mathematics. It is not only fruitful by itself, but it also provides a wonderful tool for modelling a plethora of situations in applied fields, such as physics, chemistry, engineering or epidemiology. Thus, mathematicians have constantly tried to attack the problems in this field using different techniques. During the XXth century algebraic tools started to be used with the purpose of studying singularities of differential equations and to obtain a more profound knowledge of the so-called Stokes phenomenon. In this work, an introduction to this algebraic viewpoint will be developed, with emphasis in the classification of formal meromorphic connections, the so-called Hukuhara-Levelt-Turrittin, Levelt-Turrittin or Levelt-Turrittin-Malgrange decomposition. The first chapter contains a short introduction to the subject, explaining the general structure of this work, previous results, some historic remarks and a brief bibliographic discussion. The second chapter deals with some basics about D−modules and related notions, such as the Newton polygon of an operator, which will be instrumental in the proof of the main theorems. Finally, in the third and last chapter, the abstract algebraic approach of Malgrange to the Hukuhara-Levelt-Turrittin decomposition will be studied. Also, a short, nonexhaustive study of the classical approach to the decomposition of a formal differential operator — which is a differential analogue of the Jordan-Chevalley decomposition — will be included. A few remarks about the more in-depth studies will be covered as well.

El estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales es un área de las matemáticas fructífera y que ha motivado numerosos desarrollos teóricos ya desde su concepción en el siglo XVII. Además del interés puramente matemático de las ecuaciones diferenciales su versatilidad a la hora de modelizar problemas en otras áreas del conocimiento (física, química, ingeniería, epidemología...) ha propiciado que sean un campo de permanente actualidad en el cual se buscan continuamente nuevas técnicas de estudio. En particular, a mediados del siglo XX se comenzó a afrontar el estudio de las singularidades de las ecuaciones diferenciales utilizando herramientas de álgebra abstracta. Asimismo, en la misma época, se comenzó a estudiar desde el punto de vista algebraico el fenómeno de Stokes, un fenómeno clásico del área. En el presente trabajo se pretende realizar una introducción a esta área desde el punto de vista algebraico tratando la clasificación de las conexiones meromorfas formales en una variable, lo que se conoce como descomposición de Hukuhara-Levelt-Turritin, Levelt-Turritin o Levelt-Turritin-Malgrange. El primer capítulo contiene una breve introducción al tema, en la que se explicará la estructura general del trabajo, resultados previos, algunas notas históricas y una breve discusión bibliográfica. El segundo capítulo consiste en un repaso de algunos aspectos básicos de la teoría de D−módulos y aspectos relacionados, como el polígono de Newton. Estos conceptos serán fundamentales a la hora de probar los resultados principales. Finalmente en el tercer capítulo se comentará la aproximación abstracta, debida a Malgrange, a la descomposición de Hukuhara-Levelt-Turrittin. También se incluirá un breve estudio no exhaustivo sobre la aproximación clásica a la descomposición, que es un análogo diferencial de la descomposición de Jordan-Chevalley. Asimismo se presentarán algunas pinceladas sobre las líneas de profundización en el área de estudio.