Una introducción a la teoría de los subespacios invariantes

Abstract

Halmos says that one of the most recalcitrant unsolved problems in operator theory is the invariant subspace problem. The question has an easy formulation: Does every bounded linear operator on an infinite dimensional, separable complex Hilbert space have a nontrivial invariant subspace? The aim of this work is to present an introduction to the theory of invariant subspaces, developing some basic notions from functional analysis, the elementary theory of Banach algebras and the Riesz-Fredholm theory about the spectrum of a compact operator, in order to finally provide a proof of Lomonosov’s theorem.

Halmos dice que uno de los problemas más recalcitrantes en teoría de operadores es el problema del subespacio invariante. La cuestión posee un sencillo enunciado: ¿Tiene cualquier operador lineal y acotado en un espacio de Hilbert separable, complejo e infinito-dimensional un subespacio invariante no trivial? El objetivo de este trabajo es presentar una introducción a la teoría de los subespacios invariantes, desarrollando algunas nociones básicas del análisis funcional, la teoría elemental de las álgebras de Banach y la teoría de Riesz-Fredholm acerca del espectro de un operador compacto, para poder ofrecer finalmente una demostración del teorema de Lomonosov.