El análisis de Carleson de una función (musical)

Abstract

This work is based in Juan Arias de Reyna’s work entitled Pointwise convergence of Fourier Series, where he analyses Carleson’s proof of the Luzin’s Conjecture, which asserts that every function 𝑓 in n 2 pr´𝜋, 𝜋sq has an almost everywhere convergent Fourier series. During the first part of the 20th century, some tools were created to try to proof Luzin’s conjecture. Another tools that were developed at the same time partially owe their success to this conjecture, like Lebesgue’s measure theory. Despite all the attempts for proving the conjecture, the general feeling was that it wasn’t true. For example, Kolmogorov gave, in 1923, a function in n 1 pr´𝜋, 𝜋sq whose Fourier series diverges almost everywhere. Later in time, he was able to prove that this Fourier series diverged everywhere. A. P. Calderon was the one who proved, in 1959, that if the Fourier series of every function in n 2 pr´𝜋, 𝜋sq converges almost everywhere, then 𝜇 ! sup 𝑛 |𝑆𝑛𝑓p𝑥q| ą 𝑦 ) ď 𝐶 }𝑓}2 𝑦 2 . It was at this point where the belief in Luzin’s conjecture was lost. Then Carleson, in 1966, surprisingly managed to prove the conjecture, even though his first attempt aimed at finding a counterexample. Some years later, Hunt generalized Carleson’s proof to functions in n 𝑝 pℝq, for 1 ă 𝑝 ď 8. Nowadays, we know this result as the CarlesonHunt theorem. In this work we will analyse chapters 1 to 7 from Arias de Reyna’s work. In these chapters we’ll study some of the tools used in Carleson’s proof. Our work will conclude once we see the similitude, pointed out by Arias de Reyna, between the analysis of a function in Carleson’s style and the structure of a musical composition.

Este trabajo se basa en su totalidad en el trabajo escrito por el profesor Juan Arias de Reyna titulado Pointwise Convergence of Fourier Series. A lo largo de este trabajo, Arias de Reyna realiza una explicación detallada y muy precisa de la demostración que realizó Carleson para probar la conjetura de Luzin formulada en 1913: toda función 𝑓 de n 2 r´𝜋, 𝜋 s posee un desarrollo de Fourier que es convergente en casi todo punto. A lo largo del siglo XX, gran parte de la comunidad matemática trabajaba para poder dar un resultado sobre la convergencia de las series de Fourier. Por ejemplo, la teoría de la medida de Lebesgue tuvo un gran éxito gracias a su utilidad en el campo de las series de Fourier. Además, la teoría de los conjuntos encajados de Cantor debe su origen al estudio de esta convergencia. Sin embargo fue Luzin quien en 1913, gracias a las propiedades de las transformadas de Hilbert, formulo dicha conjetura. Fueron muchos los intentos por probar errónea esta conjetura, como el de Kolmogorov quien, en 1923, dio un ejemplo de una función en n 1 pr´𝜋, 𝜋 sq cuya serie de Fourier divergía en casi todo punto. Por otro lado, A.P. Calderón, en 1959, probo que si las series de Fourier de las funciones de ´ n 2 pr´𝜋, 𝜋 sq convergen en casi todo punto, entonces 𝜇 ! 𝑥 ∶ sup 𝑛 ˇ ˇ ˇ 𝑆𝑛𝑓p𝑥q ˇ ˇ ˇ ą 𝑦 ) ď 𝐶 }𝑓}2 𝑦 2 . Llegados a este punto, muchos habían perdido la esperanza de que la conjetura de Luzin pudiera ser probada cierta. Fue entonces Carleson en 1966 quien la logro probar, ´ aunque la primera intención de esta prueba fuese demostrar la falsedad de la conjetura. ´ El siguiente año, Hunt probó la convergencia en casi todo punto de la serie de Fourier ´ de toda funcion´ 𝑓 P n p pr´𝜋, 𝜋sq para 1 ă 𝑝 ď 8. A este resultado se le conoce como el teorema de Carleson-Hunt.