Anillos de origami

Abstract

En este trabajo vamos a estudiar las construcciones de origami, que son conjuntos de puntos del plano complejo que se obtienen de forma análoga a la de los puntos de corte entre dos pliegues en una figura de origami. La idea es partir de un conjunto de direcciones dadas y dos puntos, que suelen ser 0 y 1, e ir intersecando rectas que pasen por tales puntos con los ángulos de esas direcciones para construir puntos nuevos y luego poder usarlos en la obtención de otros posteriores. El objetivo principal de la memoria será probar que este tipo de conjunto de puntos es un anillo en diversas situaciones. Para ello, vamos estudiar las propiedades y resultados que caracterizan a los puntos que lo forman. Además, distinguiremos diferentes casos según el cardinal del conjunto de direcciones o las propiedades algebraicas de tal conjunto, que nos llevarán a ver qué tipo de estructura algebraica o geométrica caracteriza a la construcción de origami en esos casos. Veremos que los anillos ciclotómicos y de enteros cuadráticos son dos ejemplos de anillos conocidos a los que podemos llegar partiendo de una construcción de origami, y que, además, en algunos casos concretos de direcciones también podremos partir de anillos de enteros cuadráticos y obtener los de origami.

The goal of this memory is to focus on origami constructions, which are sets of points on the complex plane that are obtained in an analogous way to the intersection points between two folds in an origami figure. The idea is to start from a set of given directions and two points, which are usually 0 and 1, and intersect lines that pass through such points with those angles to construct new points and then be able to use them to obtain subsequent ones. The main objective of the work will be to prove that this type of set of points is a ring in different situations. To do this, we are going to study the properties and results that characterize the points that form it. Furthermore, we will see different cases according to the number of possible directions or its algebraic properties, which will lead us to endow origami rings with an algebraic or geometric structure in those cases. We will see that cyclotomic and quadratic integer rings are two examples of known rings that we can get from an origami construction. In addition, in some specific cases of possible directions we will be able to start from the ring of integers of an imaginary quadratic number field and obtain an origami ring.