Homogeneización de estructuras reticuladas: un método multiescala

Abstract

En la Memoria se introduce un nuevo método para estudiar el comportamiento asintótico de las soluciones de problemas en ecuaciones en derivadas parciales, planteados sobre estructuras reticuladas dependientes de varios parámetros. Se trata de una adaptación original ... de un método de T.Arbogast, J. Douglas, U. Hornung para el tratamiento de ciertos problemas de homogeneización periódicos, y está estrechamente relacionado con la convergencia en dos escalas de G.Nguetseng y G.Allaire. La idea es introducir adecuados cambios de variables que transforman la sucesión de soluciones, definidas sobre domingos omega E (estructuras reticuladas) que varían con e, en nuevas sucesiones (el índice i asocia cada función con uno de los elementos que constituyen la estructura) definidas sobre dominios fijos. La nueva variable y contiene información sobre la microestructura del problema y es obtenida escalada la celda de periodicidad. De este modo, estudiando el comportamiento asintótico de uE a partir del límite de ***, no se requiere el uso de sofisticadas técnicas de prolongación. A diferencia de otros métodos, el paso al límite se realiza en todos los parámetros a la vez. Al igual que en la convergencia en dos escalas, se obtiene un sistema homogeneizado donde aparecen las dos escalas. Las soluciones de este sistema, sin exigirles propiedades adicionales de regularidad, proporcionan expresiones asintóticas de uE en topologías de tipo Sobolev. Destacar que el método permite tratar con heterogeneidades muy generales. Además, cierra cuestiones que permanecían abiertas en relación con el sistema de la elasticidad, dando una respuesta completa al problema, dependiendo de las tallas relativas entre los diversos parámetros.