Contribución al estudio teórico de algunas E.D.P. no lineales relacionadas con fluidos no newtonianos

Abstract

El objetivo básico de esta Memoria es aportar nuevos resultados teóricos de existencia, unicidad y dependencia continua de soluciones para algunos sistemas de ecuaciones en derivadas parciales que describen el comportamiento de ciertas clases de fluidos no Newtonianos. En concreto ... , consideramos fluidos de Bingham, pseudoplásticos y dilatantes con densidad variable y fluidos viscoelásticos de tipo Oldroyd.En el Capítulo 1, introducimos, en la Sección 1.1, el problema (FVPD). En la Sección 1.2, enunciamos y demostramos un resultado de existencia de solución muy débil global en tiempo para (FVPD). También presentamos un resultado que, además de justificar la introducción del concepto de solución muy débil, da condiciones suficientes para que éstas sean de hecho soluciones débiles. En la Sección 1.3, damos la definición de solución medida-valuada para (FVPD) y probamos existencia de tal solución (global en tiempo) para todo r>1. En la sección 1.4, probamos existencia de solución débil global en tiempo para (FVPD) cuando r≥12/5 ( y para todos los fluidos dilatantes cuando ΩR2).En el Capítulo 2, en la Sección 2.1, estudiamos la cuestión de la unicidad de solución para (FVPD). Aunque éste sea un problema abierto, logramos obtener resultados parciales, a costa de imponer a la solución determinadas propiedades de regularidad. En la sección 2.2, consideramos el caso en el que los coeficientes v y ∞ son variables (más precisamente, dependen continuamente de p). Tras introducir las nuevas ecuaciones a resolver, puesto que la ecuación de movimiento ha de ser modificada, presentamos resultados de existencia de solución muy débil y medida-valuada, además de comentar la cuestión de la unicidad en este caso.En el Capítulo 3, Introducimos en la Sección 3.1 el problema (FVE)ev. En la Sección 3.2, enunciamos y probamos dos resultados para (FVE)ev: existencia de solución fuerte local en tiempo para datos arbitrarios y existencia de solución fuerte global en tiempo para datos pequeños. Estos resultados son establecidos fuera del marco Hilbertiano. En la Sección 3.3, presentamos un resultado de unicidad de solución (FVE)ev (que es análogo al resultados de unicidad de solución regular del problema de Navier-Stokes) y un resultado de dependencia continua para las soluciones locales (FVE)ev. En la Sección 3.4, hacemos referencia a posibles extensiones de nuestros resultados a otros modelos de fluidos no Newtonianos. En la Sección 3.5, discutimos sobre una importantes cuestión abierta para (FVE)ev: la Existencia de solución débil global en tiempo para datos arbitrarios.En el Capítulo 4, en primer lugar, en la Sección 4.1, presentamos el problema (FVE)est. A continuación en la Sección 4.2, enunciamos y probamos los siguientes resultados: existencia, unicidad y dependencia continua de solución fuerte "pequeña" para (FVE)est cuando el dato f es suficientemente pequeño. Como en el caso evolutivo, este resultado también es establecido fuera del marco Hilbertiano.En el Capítulo 5, en la Sección 5.1, presentamos las ecuacions (0.13)-(0.14) en coordenadas cilíndricas y el razonamiento que nos conduce al problema (FVE)fP. En la sección 5.2, enunciamos y demostramos los siguientes resultados: existencia, unicidad y dependencia continua de solución semi-fuerte (y fuerte) global en tiempo (FVE)fP. En la sección 5.3 comentamos sobre otras cuestiones relacionadas con este problema.Por último, mencionemos que versiones abreviadas de los principales resultados de los Capítulos 1, 2 y 3 han sido publicados en [21] y [22]. Posteriormente, los resultados obtenidos en la Parte I por un lado y en la Parte II por otro, constituyeron los objetivos de estos trabajos de próxima aparición, [23] y [24], respectivamente.