Sobre las particiones de números enteros positivos

Abstract

En este trabajo se presenta una introducción a la teoría de particiones. En el primer capítulo veremos la definición de partición, algunos ejemplos relevantes y por último una representación geométrica. En el segundo y tercer capítulo veremos algunas de las aportaciones de Euler a la teoría de particiones y haremos un estudio de p(n), es decir, veremos una fórmula recursiva y una cota superior para p(n) que posteriormente J. H. van Lint refinó. A continuación, el cuarto capítulo describe una renombrada identidad de Jacobi, de la que surgen muchas otras identidades sobre particiones como el Teorema del número pentagonal de Euler. También veremos que hay otras formas de obtener fórmulas recursivas, que serán mediante derivación logarítmica, un método que explicaremos en el quinto capítulo. El sexto capítulo lo dedicaremos exclusivamente a las sorprendentes identidades de Ramanujan, veremos cuáles son y su prueba, y además veremos las identidades de Rogers-Ramanujan. Finalmente, en el penúltimo capítulo veremos otro de los sorprendentes resultados de Ramanujan que está relacionado con las fracciones continuas, y en el último capítulo veremos la fórmula asintótica dada por Hardy-Ramanujan en 1918 y la fórmula “exacta” que posteriormente dió Rademacher en 1937.

In this work we will present an introduction to partition theory. In the first chapter we will see the definition of partition, some relevant examples and finally a geometric representation. In the second and third chapters we will see some of Euler’s contributions to partition theory and we will examine p(n), that is, we will see a recursive formula and an upper bound for p(n) that later J. H. van Lint refined. Then, the fourth chapter describes a renowned Jacobi identity, from which many other identities of partitions arise, such as Euler’s pentagonal Theorem. We will also see that there are other ways to obtain recursive formulas, which will be through logarithmic derivation, a method that we will explain in the fifth chapter. The sixth chapter will be dedicated exclusively to the surprising Ramanujan identities, we will see what they are and their proof, and we will also see the Rogers-Ramanujan identities. Finally, in the penultimate chapter we will see another of Ramanujan’s surprising results that is related to continued fractions, and in the last chapter we will see the asymptotic formula given by Hardy-Ramanujan in 1918 and the “exact” formula given later by Rademacher in 1937.