Una introducción al cálculo de variaciones. Conexiones con problemas diferenciales

Abstract

El Calculo de Variaciones es el campo de las Matem ´ aticas que engloba co- ´ nocimientos teoricos y t ´ ecnicas que se usan con la idea fundamental de buscar ´ maximos y m ´ ´ınimos (o mas generalmente extremos relativos) de funcionales de- ´ finidos sobre algun espacio funcional. Constituyen una generalizaci ´ on del c ´ alculo ´ elemental de maximos y m ´ ´ınimos de funciones reales de una variable. En este trabajo se pretende desarrollar una introduccion al C ´ alculo de Varia- ´ ciones, intentando exponer los principales resultados que conforman esta teor´ıa, as´ı como mostrar algunas de sus aplicaciones, especialmente en el campo de la F´ısica, y su conexion con problemas diferenciales. ´ El objetivo sera ver bajo qu ´ e condiciones se puede resolver algunos proble- ´ mas. Para ello, presentaremos varias condiciones necesarias y suficientes para la existencia y unicidad de solucion de algunos problemas usando diferentes ecua- ´ ciones conocidas asociadas a dichos problemas (como puede ser la ecuacion de ´ Euler-Lagrange y la ecuacion de Hamilton-Jacobi).

Calculus of Variations is the field of Mathematics that encompasses theoretical knowledge and techniques that are used with the fundamental idea of searching for maximums and minimums (or more generally relative extremes) of functionals defined on some functional space. They constitute a generalization of the elementary calculus of maximums and minimums of real functions of a variable. This assignment aims to develop an introduction to the Calculus of Variations, trying to expose the main results that make up this theory, as well as show some of its applications, especially in the field of Physics, and its connection with differential problems. The objective will be to see under what conditions some problems can be solved. To do this, we will present several necessary and sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution of some problems using different known equations associated with said problems (such as the Euler-Lagrange equation and the Hamilton-Jacobi equation).