Sobre problemas variacionales y optimización

Abstract

The Calculus of Variations is a mathematical field that tries to find the functions that minimize or maximize the value of certain functional defined on a determined space. It is a classic topic in mathematics, interconnected with many other problems in this branch. It has multiple applications, among them is the use in optimal control. In this work we will analyze optimization problems within the framework of the Calculus of Variations, as well as the resolution of some partial differential equations. We will study the theory of existence and uniqueness of solution of certain optimization problems and we will see necessary and/or sufficient conditions of optimality, which will be important both from the theoretical and numerical point of view and they will allow us to characterize the optimum. In addition, we will describe numerical methods to solve minimization problems without constraints.

El C´alculo de Variaciones es un campo de las matem´aticas que trata de encontrar las funciones que minimizan o maximizan el valor de un cierto funcional definido sobre un determinado espacio. Es un tema cl´asico en matem´aticas, interconectado con muchos otros problemas de esta rama. Tiene m´ultiples aplicaciones, entre ellas est´a el uso en control ´optimo. En este trabajo analizaremos problemas de optimizaci´on dentro del marco del C´alculo de Variaciones, as´ı como la resoluci´on de algunas ecuaciones en derivadas parciales no lineales. Estudiaremos la teor´ıa de existencia y unicidad de soluci´on de ciertos problemas de optimizaci´on y veremos condiciones necesarias y/o suficientes de optimalidad, que ser´an importantes tanto desde el punto de vista te´orico como num´erico y nos permitir´an caracterizar los ´optimos. Adem´as, describiremos m´etodos num´ericos para la resoluci´on de problemas de minimizaci´on sin restricciones.