Convergencia de sucesiones en espacios topológicos

Abstract

En este trabajo, se trata el problema del papel de las sucesiones en los espacios topol´ogicos, desde dos puntos de vista. Por una parte, se expone brevemente la teor´ıa de redes y filtros, que proporcionan una generalizaci´on de la convergencia de sucesiones, adecuada para la caracterizaci´on de ciertas propiedades topol´ogicas, como la continuidad o la compacidad. Por otro lado, se estudian las propiedades elementales de los espacios 1◦N, los espacios de Fr´echet-Uryshon y los espacios secuenciales. Estas clases de espacios son tres ampliaciones sucesivas de los espacios m´etricos, en las que los conjuntos cerrados o las aplicaciones continuas pueden caracterizarse tambi´en en t´erminos de propiedades de convergencia de sucesiones. Pero, a diferencia de lo que ocurre en los espacios m´etricos, en estos espacios la compacidad y la compacidad secuencial no son equivalentes, es decir, la compacidad no puede caracterizarse mediante sucesiones. No obstante, s´ı se tiene el siguiente resultado: en la clase de los espacios secuenciales la compacidad numerable y la compacidad secuencial son equivalentes.

In this work, the problem of the role of sequences in topological spaces is treated from two points of view. On the one hand, the theory of nets and filters, which provide a generalization of the convergence of sequences, suitable for the characterization of certain topological properties, such as continuity or compactness, is briefly presented. On the other hand, the elementary properties of 1◦N spaces, Fr´echet-Uryshon spaces and sequential spaces are studied. These classes of spaces are three successive extensions of metric spaces, in which closed sets or continuous applications can also be characterized in terms of properties of convergence of sequences. But, unlike in metric spaces, in these spaces compactness and sequential compactness are not equivalent, i.e., compactness cannot be characterized by means of sequences. However, we do have the following result: in the class of sequential spaces numerable compactness and sequential compactness are equivalent.