Métodos iterativos de resolución de sistemas lineales basados en subespacios de Krylov. Aplicaciones a la resolución numérica de EDP y en matrices test.

Abstract

Este trabajo se centra en los diferentes métodos iterativos para resolver sistemas lineales basados en subespacios de Krylov. El objetivo principal es realizar una comparativa entre los distintos métodos a la hora de resolver numéricamente un problema de EDP o problemas test con matrices grandes y dispersas. Para ello, introducimos en el capítulo 1 conceptos ya vistos en Cálculo Numérico II necesarios para poder definir los siguientes métodos. En el capítulo 2 definimos métodos de proyección y en el 3 nos centramos en los métodos iterativos de Krylov. Posteriormente, en el capítulo 4, consideramos un problema de EDP, su discretización e implementación en Matlab para la comparación de dichos métodos. Vamos a ver la diferencia en sistemas precondicionados y no precondicionados en el método GMRES considerando problemas test con matrices grandes y dispersas y por último, analizamos el resultado obtenido.

The present work focuses on different iterative methods for solving linear systems based on Krylov subspaces. The main objective is to make a comparison among the different methods when solving a PDE problem numerically or test problems with large and sparse arrays. To do so, we introduce in Chapter 1 concepts already covered in the course Numerical Calculus II (Cálculo Numérico II), which are required to define the following methods. In Chapter 2, the projection methods are defined and in Chapter 3 we focus on Krylov’s iterative methods. Subsequently, in Chapter 4, we will consider a PDE problem, its discretization and implementation in MATLAB for the comparison of these methods. We will consider the difference in preconditioned systems and non-preconditioned systems in the GMRES method considering test problems with large and sparse arrays and finally, the result obtained will be analyzed.