Representación de primos mediante formas cuadráticas

Abstract

Este trabajo busca dar una primera idea de la teoría algebraica de números y de su método. Partimos de una premisa sencilla: estudiar qué primos se pueden escribir en la forma 𝑝�� = 𝑥��2 +𝑛��𝑦��2 para un 𝑛�� dado. La teoría algebraica de números busca expandir el mundo de los números para responder este tipo de preguntas. Comenzaremos con una sección dedicada a explicar los rudimentos de esta teoría. Generalizaremos la noción de número entero en lo que llamaremos entero algebraico y les daremos estructura de anillo y veremos las ricas propiedades que tienen sus ideales. Más adelante, como parece natural en cualquier curso de álgebra, pasaremos a estudiar sus extensiones. Veremos cómo se comportan los enteros, y sus ideales, dentro del anillo de enteros de un cuerpo de números. También dedicaremos un momento a darles estructura de grupo a los ideales de los anillos de enteros, y veremos que, igual que los números, también se pueden factorizar. Después aplicaremos esta teoría al caso particular de las extensiones cuadráticas, aquellas de la forma 𝐾�� = ℚ[ √ 𝑑��], con 𝑑�� libre de cuadrados. Veremos entonces un buen ejemplo de cómo actúa la teoría algebraica de números: para estudiar la ecuación 𝑝�� = 𝑥��2 +𝑛��𝑦��2, estudiaremos cómo se comportan los ideales primos de ℤ en el anillo de enteros de 𝐾��. Resulta que si 𝑝�� factoriza como producto de dos primos en 𝐾��, se podrá escribir de esa manera.

In this essay, we are aiming to give a first impression of algebraic number theory and its method. We start from a relatively simle question: given a positive integer 𝑛�, which primes 𝑝� can be expressed in the form 𝑝� = 𝑥�2 + 𝑛�𝑦�2? First, we will develop the building blocks of algebraic number theory. We will define algebraic integers and study their properties, we will see that they have ring structure, and study their ideals. Then, we will study extensions of the so called number fields, and how do the ideals of the ring of integers ℤ behave in a bigger ring. Later, we will prove that the ideals of an algebraic number ring have a multiplicative structure, and that they can be factores. Finally, we will apply all of this theory to the special case of quadratic field extensions: those of the form 𝐾� = ℚ[ √ 𝑑�], with 𝑑� a squarefree integer. It turns out that studying the equation 𝑝� = 𝑥�2 + 𝑛�𝑦�2 can be reduced to studying how prime ideals of ℤ decompose into prime ideals in 𝐾�.