Geometría de espacios de Banach : estructura normal y reflexividad

Abstract

El objetivo de este trabajo es el estudio de los espacios de Banach desde una perspectiva más geométrica. Con este fin, introducimos los espacios uniformemente convexos y los espacios de Banach con estructura normal. La estructura normal es una propiedad geométrica de los espacios de Banach muy útil. A modo de motivación para el estudio de la estructura normal, durante el desarrollo del trabajo, se demuestra una de sus aplicaciones a la teoría del punto fijo. Introducimos un resultado dado por W. A. Kirk en 1965, quien demostró el Teorema de punto fijo de Kirk, que utilizaba la estructura normal en un espacio reflexivo para asegurar la existencia de punto fijo de una aplicación 𝑇�� no expansiva. Comenzamos con el capítulo uno, que consiste en un pequeño resumen de las propiedades utilizadas durante el trabajo. A continuación, se introducen los espacios uniformemente convexos. Estos espacios se caracterizan por el carácter geométrico de sus bolas unidades, dicho informalmente, se tiene que la forma de las bolas es "redondeada". Este concepto de redondez es formalizado mediante el módulo de convexidad. Se demostrará que los espacios uniformemente convexos son caracterizados por sus subespacios de dimensión dos. Más adelante se presentan los espacios de Banach con estructura normal, una estructura geométrica más general que la de los espacios uniformemente convexos. Comenzamos con la definición de los elementos de Chebyshev y de la estructura normal. Una vez dados estos conceptos, caracterizamos la estructura normal y damos su relación con los espacios uniformemente convexos. Acabamos el capítulo demostrando el Teorema de punto fijo de Kirk. Por último, le damos un enfoque nuevo al estudio de la estructura normal, buscando una condición suficiente para asegurarla, basándonos solamente en sus subespacios de dimensión dos. Es interesante destacar un resultado que se prueba durante el desarrollo de esta caracterización. Este enuncia que la longitud de la curva dada por la esfera unidad de un espacio normado de dimensión 2 está entre 6 y 8. Fue Ji Gao, en 2001, quien introdujo el coeficiente 𝑅��(𝑋��) de un espacio de Banach, coeficiente que solo dependía de los subespacios de dimensión 2. Finalizamos el trabajo presentando el resutado de Ji Gao que dice que si 𝑅��(𝑋��) > 0 entonces 𝑋�� posee estructura normal.

The goal of this dissertation is to study some geometrical properties of Banach spaces, mainly uniform convexity and normal structure. First, main Banach spaces properties are reviewed. Afterwards, we introduce uniform convex spaces. In order to study the roundness of unit balls in arbitrary Banach spaces, the modulus of convexity is defined. It will proved that a notable property of uniform convex spaces is the roundness of its unit balls. Lastly, the modulus of convexity is used to characterize uniform convex Banach spaces by its two dimensional subspaces. We continue studying the geometry of Banach spaces introducing Chebyshev elements and the property of normal structure. Normal structure is more general than that of uniform convexity, as it will be shown in chapter 3. The importance of normal structure is seen throughout different kind of results. In particular, we present an application of normal structure to the metric fixed point theory. Finally, we work with curves in two dimensional spaces as well as the length of the circumference of the unit ball in order to introduce a coefficient, 𝑅�(𝑋�) of Ji Gao. To introduce 𝑅�(𝑋�) we proof a result that stands out, which states that the length of the unit sphere of a 2 dimensional normed space 𝑋� is between 6 and 8. The importance about 𝑅�(𝑋�) is that it only depends on the two dimensional subspaces of our Banach space 𝑋�. It will be seen that if 𝑅�(𝑋�) > 0, then 𝑋� has normal structure. In summary, we will visit some geometric properties of Banach spaces, relate them and give a characterization of them throughout their two dimensional subspaces.