Deducción y resolución de las ecuaciones de las olas del mar lineales

Abstract

The main goal of this work is to prove the existence and uniqueness of solutions to the water waves equation in 2-D. We study the Euler equations in the case of an incompressive irrotational non-viscous fluid due to viscosity of water is closed to zero. We assume that the fluid only has rotation in the surface which gives the interface between water and air. This interface is moving with the velocity of the fluid and describes the dynamics of water waves. In the first chapter we introduce the Euler and Navier-Stokes equations and some results related to the existence and non uniqueness of their solutions. We also mention different works providing global existence results and finite time singularity formation for the non lineal water waves system. Next, we introduce some concepts of functional analysis which are needed in order to fully explain the target of this work. Among then it can be found basic concepts of distributions or the definition of fundamental operators such as the Hilbert and the Fourier transforms. In the third chapter, we deal with a classic PDE problem: the wave equation. We asume certain regularity in order to find a candidate to be the solution. Once it is found, we prove that it is in fact the solution of the wave equation. It fits with the definition of a weak solution. We get the regularity of the solution depending on the regularity given by the initial values. Giving more regular initial data it is possible to find classical solutions. In the last chapter, we start with a linealization of the water waves equation. We aim to give a stationary solution and perform a perturbation around it. We follow with the study of lineal water waves equation. To do that, we apply similar techniques which have been used to solve the wave equation in the previous chapter. Fourier techniques provide similarities between the wave equation and the lineal water wave system. It allows us to solve the lineal water waves analogously. At the end of the chapter, we study a situation in which the solution to the lineal water waves equation is unstable: fluid is on top of air.

El principal propósito de este trabajo es probar la existencia y unicidad de soluciones de la ecuación lineal water waves en dos dimensiones. Estudiaremos la ecuación de Euler en el caso de un fluido incompresible, irrotacional y no viscoso, ya que la viscosidad del agua es prácticamente nula. Asumimos que el fluido solo tiene rotación en la superficie que proporciona la interfase entre el agua y el aire. La interfase se mueve con la velocidad del fluido y describe la dinámica de las olas del mar. En el primer capítulo introducimos las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes y algunos resultados sobre la existencia y no unicidad de sus soluciones. También mencionaremos diferentes trabajos que proporcionan resultados de existencia global y la formación de singularidades en tiempo finito para la ecuación water waves no lineal. Posteriormente, introduciremos algunos conceptos de análisis funcional que necesitaremos para explicar completamente el objetivo de este trabajo. Entre ellos pueden encontrarse conceptos básicos de teoría de distribuciones o la definición de operadores fundamentales como la transformada de Hilbert y la de Fourier. En el tercer capítulo, trataremos un problema clásico de EDP: la ecuación de onda. Asumiremos cierta regularidad para poder encontrar un candidato a solución. Una vez lo encontremos, probaremos que es realmente la solución de la ecuación de ondas. Esta solución satisface la definición de solución débil. Obtenemos la regularidad de la solución en función de la regularidad de los datos iniciales. Dando más regularidad a los datos iniciales es posible encontrar una solución clásica. En el último capítulo comenzaremos con la linealización de la ecuación water waves. Daremos una solución estacionaria y produciremos una perturbación en ella. Seguiremos con el estudio de la ecuación water waves lineal. Para ello, aplicaremos técnicas similares a las usadas para resolver la ecuación de ondas en el capítulo anterior. El análisis de Fourier nos da la similaridad entre la ecuación de ondas y la ecuación water waves lineal, lo que nos permite resolver estas últimas de manera análoga. Al final del capítulo estudiaremos una situación en la cual la solución de la ecuación de water waves lineal es inestable: el fluido se encuentra sobre el aire.