El problema del transporte minimal de Monge-Kantorovich

Abstract

En la memoria expuesta a continuaci´on, queremos hacer un estudio exhaustivo de la Teor´ıa de la Medida para concluir con la demostraci´on del llamado Teorema de Dualidad de Kantorovich. El problema del transporte minimal de Monge-Kantorovich es un problema de optimizaci´on que pretende minimizar el coste del transporte total a trav´es de planes de transporte que se modelizar´an como medidas en espacios productos con ciertas caracter´ısticas. Para complementar esta memoria, hablaremos en un anexo de numerosos conceptos de Teor´ıa de la Medida con el prop´osito de comprender lo mejor posible todo lo que hay detr´as de nuestro problema: medidas positivas, integral respecto a una medida, teoremas de convergencia, extensi´on de medidas, medidas productos y medidas signadas. Uno de los teoremas claves en la demostraci´on del Teorema de Dualidad de Kantorovich ser´a el Teorema de Representaci´on de Riesz para el dual del espacio de funciones continuas con soporte compacto. Este resultado ser´a mostrado en el primer cap´ıtulo.

In the dissertation presented below, we will be doing an exhaustive study of Measure Theory to conclude with the proof of the theorem called Kantorovich’s Duality Theorem. The MongeKantorovich’s Minimal Transport Problem is an optimization problem which aims to minimize the total transportation cost by transportation plans which will be modeled as measures in product spaces with certain characteristics. In order to complement this dissertation, we will be talking in an annex about a great amount of concepts of Measure Theory with the purpose of understanding as much as possible everything behind our problem: positive measures, integral with respect to a measure, convergence theorems, extension of measures, product measures and signed measures. One of the key theorems in the proof of Kantorovich’s Duality Theorem will be the Riesz’ Representation Theorem for the dual space of continuous functions with compact support. This result will be shown in the first chapter.