The div-curl lemma “trente ans après”: an extension and an application to the G-convergence of unbounded monotone operators

Abstract

In this paper new div-curl results are derived. For any open set Ω of RN, N⩾2, we study the limit of the product vn⋅wn where the sequences vn and wn are respectively bounded in Lp(Ω)N and Lq(Ω)N, while divvn and curlwn are compact in some Sobolev spaces, under the condition 1⩽1p+1q⩽1+1N. Our approach is based on a suitable decomposition of the functions vn and wn, combined with the concentration compactness of P.-L. Lions and a recent result of H. Brezis and J. Van Schaftingen. As a consequence we obtain a new result of G-convergence for unbounded monotone operators of N-Laplacian type.

Dans cet article, on obtient de nouveaux résultats de type div-rot. Pour tout ouvert Ω de RN, on étudie la limite du produit vn⋅wn où les suites vn et wn sont respectivement bornées dans Lp(Ω)N et Lq(Ω)N, alors que divvn et curlwn sont compactes dans des espaces de Sobolev, sous la condition 1⩽1p+1q⩽1+1N. L'approche utilisée repose sur une décomposition convenable des functions vn et wn, combinée avec la concentration-compacité de P.-L. Lions et un résultat récent de H. Brezis et J. Van Schaftingen. Comme corollaire on déduit un nouveau résultat de G-convergence pour des opérateurs monotones non bornés de type N-laplacien.