Cristalografía Topológica

Abstract

El objetivo de este trabajo es presentar las estructuras de los cristales como ejemplos motivadores para una iniciación a la teoría general de los espacios recubridores. Hemos seguido para ello el libro [5] de Toshikazu Sunada, junto con su resumen en el artículo [4], pues es la primera exposición detallada de los fundamentos de la cristalografía topológica. Sunada basa su estudio en el grupo fundamental (ver [2]) y después se restringe a la clase de las aplicaciones recubridoras abelianas. Sin embargo, hemos preferido usar directamente el primer grupo de homología de un grafo y trabajar desde el inicio con aplicaciones recubridoras abelianas como propone John Baez en [1]. El trabajo consta de cinco capítulos que pasamos a detallar. En el primero, damos algunas definiciones sobre grupos y acciones de grupos y presentamos el tipo de grafos con los que trabajaremos; en el segundo, hablamos de las relaciones de homotopía y homología sobre grafos; en el tercero, definimos los conceptos de grafos recubridores, grafos recubridores regulares y grafos recubridores abelianos; en el cuarto, damos la definición de cristal topológico como grafo recubridor abeliano de un grafo finito y en particular, hablamos del grafo universal abeliano sobre un grafo base dado; finalmente en el quinto, damos una serie de ejemplos de cristales topológicos. Terminamos remarcando que este estudio se centra solamente en los elementos básicos de la cristalografía topológica y no tiene en cuenta los aspectos geométricos que se presentan al considerar condiciones físico-químicas de los cristales que aparecen en la naturaleza. Esto último tiene el fin de buscar la representación espacial más ajustada al verdadero cristal, atendiendo a principios como el de mínima acción. Estas consideraciones forman la segunda parte de [5], que queda fuera de este trabajo.

The main purpose of this paper is to present the crystal structures as motivating examples for introducing the general theory of covering spaces. We have followed Toshikazu Sunada’s book [5], together with its summary in the article [4], because it is the first detailed exposition of the foundations of Topological Crystallography. Sunada bases his study on the fundamental group (see [2]) and then restricts to the class of abelian covering maps. However, we opted for using directly the first homology group of a graph and work from the beginning with abelian covering maps as John Baez suggests in [1]. The paper consists of five chapters that we describe as follows. In the first, we detail various definitions about groups and group actions and present the type of graphs which we will work with; in the second, we talk about homotopy and homology relations on graphs; in the third, we define the concepts of covering graphs, regular covering graphs and abelian covering graphs; in the fourth, we give the definition of a topological crystal as an abelian covering graph of a finite graph and in particular, we speak of the universal abelian graph on a given base graph; finally in the fifth, we give some examples of topological crystals. Let us finish by pointing out that this study focuses only on the basic elements of topological crystallography and does not take into account the geometric aspects that arise when considering the physical and chemical properties of crystals that appear in nature. This leads to focus the reserach on finding the spatial representation that is more adjusted to the real crystal, attending to principles such as that of minimum action. These considerations form the second part of [5], which is left out of this work.