El teorema de Goodstein

Abstract

Este trabajo se centra en el Teorema de Goodstein. El primer objetivo será demostrarlo. Para ello, debemos introducir al lector en la Teoría de Conjuntos. Explicaremos sus elementos principales y los axiomas sobre los que se desarrolla. Una vez puestas estas bases, desarrollaremos a partir de ellas la estructura de los números ordinales. Esto será suficiente para poder elaborar una prueba del Teorema de Goodstein. Una vez probado desde la Teoría de Conjuntos, nos planteamos un nuevo objetivo: expresar el Teorema dentro de otra teoría, la Aritmética de Peano (PA). Para ello, se explicará en qué consiste la teoría PA y se estudiarán las funciones Σ1-definibles y las funciones demostrablemente totales en PA. Sin embargo, aunque veremos que el Teorema de Goodstein puede ser expresado en PA en términos de una función de este tipo, probaremos que en PA este teorema no tiene demostración. Para este fin será imprescindible la introducción de conceptos como las sucesiones de funciones Gα y Hα (sucesión de Hardy) y los teoremas de Wainer y Cichon. Por ´ultimo, para evidenciar el papel tan importante que tiene el concepto de infinito en la demostración del Teorema de Goodstein, veremos que PA y una teoría de conjuntos finitos son esencialmente equivalentes como teorías. Para ver esto, definiremos las interpretaciones entre teorías, veremos qué tiene que ocurrir para que dos teorías sean esencialmente equivalentes, concretaremos cuál es exactamente esta teoría de conjuntos finitos y presentaremos la interpretación de Ackermann y su inversa.

The main subject of this work is Goodstein’s Theorem and our first objective will be proving it. To this end, we will present Set Theory to the reader. We will explain its key elements and its axioms. Once we have set this basis, we will develop the ordinal numbers. This will be enough to make the proof of Goodstein’s Theorem. After making the proof from Set Theory, we come up with a new objective: expressing the Theorem in a different theory, Peano Arithmetic (PA). To this aim, we will explain PA and we will study Σ1-definable functions and provable total functions in PA. Nevertheless, although we will be able to express Goodstein’s Theorem in PA in terms of these types of functions, we will prove that this theorem has no proof in PA. To this end it will be crucial to present the sequences of functions Gα and Hα (Hardy’s sequence) and Cichons’s and Wainer’s theorems. Finally, we will reveal how important is the infinite concept in the proof of Goodstein’s Theorem by showing that PA and a finite set theory are definitionally equivalent. So, we will define interpretations between theories, we will see the exact definition of definitionally equivalent, we will specify which is that finite set theory and we will present Ackermann’s interpretation and its inverse.