El teorema de Radon-Nikodym y sus consecuencias

Abstract

El propósito de este trabajo es dar una prueba del Teorema de Radon-Nikodym, y también presentar algunas de sus consecuencias más importantes. En primer lugar, presentamos algunas propiedades preliminares sobre medidas. Para entender el Teorema de Radon-Nikodym definimos la continuidad absoluta de una medida. Una vez tenemos las herramientas necesarias, probamos el Teorema de Radon-Nikodym para una medida positiva y finita de dos formas diferentes. Después de esto, extendemos el teorema a otros tipos de medidas y damos algunas consecuencias importantes, como por ejemplo el Teorema de Descomposición de Jordan. Con el Teorema de Radon-Nikodym somos capaces de probar un resultado muy importante: la identificación isométrica del dual de los espacios L p para 1 ≤ p < ∞. Después de presentar la teoría para medidas positivas, reales y complejas, proporcionamos algunas definiciones importantes y resultados sobre medidas vectoriales, y probamos que en este caso el Teorema de Radon-Nikodym no se cumple en general. Finalmente, presentamos alguna condiciones bajo las cuales se cumple el Teorema de Radon Nikodym para medidas vectoriales.

The aim of this project is to give a proof of the Radon-Nikodym Theorem; we also present some of its most important consequences. First of all, we present some preliminary properties about measures. In order to understand the Radon-Nikodym Theorem, we define the absolute continuity of a measure. Once we have all the necessary tools, we prove the Radon-Nikodym Theorem for a positive and finite measure in two different ways. After that, we extend the theorem to differents types of measures and we give some important consequences, like, for example, the Jordan Descomposition Theorem. With the Radon-Nikodym Theorem we are able to prove a very important result: the isometric identification of the dual of the L p spaces for 1 ≤ p < ∞. After presenting the theory for positive, real and complex measures, we provide some important definitions and results for vector measures and we prove that in this case the Radon-Nikodym Theorem does not hold in general. Finally, present some conditions which ensure the validity of the Radon Nikodym Theorem for vector measures