Polinomio de Bernstein y singularidades aisladas de hipersuperficies complejas

Abstract

The main aim of this work is to present as precisely as possible the results obtained by B. Malgrange in his article “Le polynôme de Bernstein d’une singularité isolée”, published in 1975, which was one of the triggers for the development of the D-module theory in the last quarter of the last century. Specifically, we are going to analize the close relationship between the Bernstein polynomial of an isolated singularity and the Milnor monodromy automorphism, resulting that the eigenvalues of the latter are exactly the exponentials of the roots of this polynomial, and as an immediate consequence, that these roots are always rational. In order to do this, we are going to use a wide variety of tools, from the de Rham cohomology of a D-module to Milnor’s Theorem, through the Gauss-Manin differential system and the theory of regular meromorphic connections, among others.

El objetivo principal de este trabajo es exponer con toda la precisión y el detalle posibles los resultados obtenidos por B. Malgrange en su artículo “Le polynôme de Bernstein d’une singularité isolée” de 1975, el cual fue uno de los detonantes para el desarrollo de la teoría de D-módulos en el último cuarto del siglo pasado. En concreto, se va a analizar la estrecha relación entre el polinomio de Bernstein de una singularidad aislada y el automorfismo de monodromía de Milnor, obteniendo como resultado principal que los autovalores de este último coinciden con las exponenciales de las raíces del primero, y como consecuencia inmediata, que las raíces de este polinomio son siempre racionales. Para ello, se va a hacer uso de una amplia variedad de herramientas, desde la cohomología de de Rham de un Dmódulo hasta el Teorema de Milnor, pasando por el sistema diferencial de Gauss-Manin y la teoría de conexiones meromorfas regulares, entre otras.