Una Teoría Unificada de las Funciones Especiales

Abstract

El objetivo de este trabajo es introducirnos a la teoría de las funciones especiales utilizando el método unificado propuesto por Nikiforov y Uvarov en los años 60 del siglo XX. Gran parte de los contenidos de este trabajo están basados en su libro “Special Functions of Mathematical Physics: A unified Introduction with Applications”, el cual nos servirá de guía y citaremos constantemente. En el primer capítulo estudiaremos la ecuación diferencial de tipo hipergeométrico generalizada, u^x"+(τ(z))/(τ(z)) u^'+σ(z)/σ2(z) u=0, la cual conseguiremos reducir a una ecuación más simple, σ(z)y" + τ(z)y' + λy = 0, que llamaremos ecuación diferencial de tipo hipergeométrico. A partir de esta última, seguiremos un método que nos permitirá hallar una representación integral de sus soluciones. Además, daremos un procedimiento que nos permitirá obtener relaciones de recurrencia a tres términos y fórmulas de diferenciación para las soluciones de dicha ecuación. En los capítulos siguientes, procederemos a estudiar dos grandes familias de soluciones de la ecuación de tipo hipergeométrico: las funciones de Bessel y las funciones hipergeométricas. Durante estos, nos valdremos de los procedimientos estudiados en el capítulo 1 para hallar diversas propiedades de dichas funciones, como por ejemplo: su representación integral, relaciones de recurrencia, fórmulas de diferenciación, etcétera.

The objective of this work is to introduce us to the theory of special functions using the unified method proposed by Nikiforov and Uvarov in the 1960s. Many of the contents of this work are based on the book “Special Functions of Mathematical Physics: A unified Introduction with Applications”, which will serve as a guide and we will constantly quote. In the first chapter we will study the generalized differential equation of hypergeometric type, u^x"+(τ(z))/(τ(z)) u^'+σ(z)/σ2(z) u=0, which we will be able to reduce to a simpler equation, σ(z)y" + τ(z)y' + λy = 0, which we will call the differential equation of hypergeometric type. From the latter, we follow a method that will allow us to find an integral representation of the solutions. In addition, we will give a procedure that will allow us to obtain recurrence relations to three terms and differentiation formulas for the solutions of said equation. In the following chapters, we will proceed to study two large families of the solutions of equation of hypergeometric type: the Bessel functions and the hypergeometric functions. During this chapter, we will use the procedures discussed in Chapter 1 to find various properties of these functions, such as: its integral representation, recurrence relations, differentiation formulas, etc.