Teoría de cuerpos de clase

Abstract

Class field theory studies abelian extensions of a given field using only intrinsic data of the field itself. Moreover, it gives information about the Galois groups of these extensions along with some functorial properties. Currently, global class field theory is constructed from local class field theory. For this reason, it is customary to focus first on the local aspects of class field theory. In this way, the present project compiles full proofs of the core results of local class field theory following the method of Iwasawa [Iwa86] as presented by Yoshida [Yos08]. Instead of focusing on the analogies between elliptic curves and Lubin-Tate groups, this work stresses the algebraic aspects of the theory by visualizing the construction as a kind of “categorification” that gives rise to the comparison of uniformizing elements by algebraic means. Once the main results of local class field theory has been proved, these notable results are subsequently used to prove the Kronecker-Weber theorem following Safareviˇc [ ˇ S51 ˇ , Cas86]. Due to space limitation and for the sake of clarity, the scope of this project is limited to providing only the proofs of the main theorems without justifying every step of the construction of the relative Lubin-Tate groups. In addition to the technical results, a brief outline of the history of class field theory is included for the purpose of showing how trascendental this theory has been for the mathematical community. The relevant bibliography for this part is [Conb, Lem00, PS04, Tak94].

La teoría de cuerpos de clase estudia las extensiones abelianas de un cuerpo dado usando únicamente información intrínseca del cuerpo. Además, da información sobre los grupos de Galois de dichas extensiones junto con algunas propiedades funtoriales. Hoy en día, la teoría de cuerpos de clase global se construye a partir de la teoría de cuerpos de clase local. Por esta razón, es usual concentrarse primero en los aspectos locales de la teoría de cuerpos de clase. De esta forma, el presente trabajo recoge pruebas completas de los resultados centrales de la teoría de cuerpos de clase local siguiendo el método de Iwasawa [Iwa86] tal y como lo expone Yoshida [Yos08]. En lugar de concentrarse en las analogías entre las curvas elípticas y los grupos de Lubin-Tate, este trabajo resalta los aspectos algebraicos de la teoría visualizando la construcción como cierta “categorificación” que permite la comparación de los parámetros de uniformización de una forma algebraica. Una vez los resultados principales de la teoría de cuerpos de clase local hayan sido demostrados, estos resultados profundos se usan posteriormente para probar el teorema de Kronecker-Weber siguiendo Safareviˇc [ ˇ S51 ˇ , Cas86]. Por la limitación de espacio y en beneficio de la claridad, el ámbito de este proyecto se limita a probar los resultados más importantes de la teoría de cuerpos de clase sin justificar todos los pasos de la construcción de los grupos de Lubin-Tate relativos. Además de los resultados técnicos, se añade un resumen de la historia de la teoría de cuerpos de clase con el objetivo de mostrar cómo de trascendente ha sido esta teoría para la comunidad matemática. La bibliografía relativa a esta parte es [Conb, Lem00, PS04, Tak94].