Trabajo Fin de Grado
Del cálculo variacional a la teoría del control óptimo: Aplicación a sistemas lejos del equilibrio
Autor/es | Ruiz Pino, Natalia |
Director | Prados Montaño, Antonio |
Departamento | Universidad de Sevilla. Departamento de Física atómica, molecular y nuclear |
Fecha de publicación | 2022-06-17 |
Fecha de depósito | 2022-06-17 |
Titulación | Universidad de Sevilla. Doble Grado en Física y Matemáticas |
Resumen | Throughout history, time has marked a determining factor in multiple processes, from optimization of tasks in assembly lines, search for routes of minimum time, etc. In this erce ght
against time, mathematics has developed ... Throughout history, time has marked a determining factor in multiple processes, from optimization of tasks in assembly lines, search for routes of minimum time, etc. In this erce ght against time, mathematics has developed a series of powerful tools to tackle all the problems that require minimizing time. In our case, the problem we deal with comes from a granular system that will be led from an initial non-equilibrium stationary state (NESS) to another NESS in the shortest possible time, by controlling the intensity of an external thermostat. In order to face this problem, it is necessary to become familiar with mathematical optimization methods that t the theoretical framework imposed by our problem. This requirement lead us to study the so-called maximum principle, the fundamental pillar of the branch of mathematics known as optimal control theory. We also study its linear variants, which allow us to solve the problem when the nal and initial states are close to each other. Although we do not present a rigorous demonstration of the principle of the maximum, we reach it in an intuitive way using the tools of variational calculus. Along the way, we also illustrate the limitations of variational calculus when dealing with non-holonomic constraints, like the bounded interval of possible values for the intensity of the thermostat in our problem. Once we are equipped with the necessary mathematical tools, we address the study of the speci c physical problem we are interested in. First, we brie y review the dynamics of granular systems and the equations that govern it, in order to be able to apply the mathematical tools presented above. Second, applying the maximum principle, we solve the optimization problem and thus engineer a protocol for the intensity of the thermostat that minimizes the connection time between the two NESS. We analyze the behavior of the system when applying the optimal protocol and solve its dynamics analytically. Moreover, the dependence of these results with the available range for the intensities of the thermostat is investigated. Finally, we explore the limit of applicability of the linear approximation. El tiempo, a lo largo de la historia, ha marcado un factor determinante en múltiples procesos y ha impuesto límites a batir en otros tantos, desde optimización de tareas en cadenas de montaje, búsqueda de rutas de mínimo ... El tiempo, a lo largo de la historia, ha marcado un factor determinante en múltiples procesos y ha impuesto límites a batir en otros tantos, desde optimización de tareas en cadenas de montaje, búsqueda de rutas de mínimo tiempo, etc. En esa lucha encarnizada a contrarreloj del hombre contra el tiempo, la matemática ha puesto a nuestro servicio toda una serie de potentes herramientas para abordar, desde ingeniosos puntos de vista, todos los problemas que requieren minimizar el tiempo. En nuestro caso, el problema que tratamos viene de la mano de un sistema granular que, mediante un termostato externo, conducimos desde un estado estacionario de no-equilibrio inicial a otro final en el menor tiempo posible. Para poder abordar esta cuestión es necesario familiarizarse con los métodos matemáticos de optimización que se ajustan mejor al marco teórico impuesto por nuestro problema. Este requerimiento nos lleva a estudiar el principio del máximo, pilar fundamental de la conocida como teoría del control óptimo, y sus variantes lineales, que nos permiten resolver el problema cuando los estados finales e iniciales son próximos entre sí. Aunque no presentamos una demostración rigurosa del principio del máximo, llegamos a él de forma intuitiva empleando las herramientas del cálculo variacional. En este camino mostramos también las limitaciones del cálculo variacional para tratar problemas con ligaduras “no holónomas”, como las presentes en nuestro sistema debido a la acotación en la intensidad del termostato. Una vez equipados con las herramientas matemáticas necesarias, abordaremos el estudio del problema físico en cuestión. Exponemos, sin entrar en demasiado formalismo, la dinámica de los gases granulares y las ecuaciones que la gobiernan, a fin de poder encuadrarlas en el marco matemático expuesto anteriormente. Aplicando el principio del máximo, resolvemos el problema de optimización, diseñando un protocolo para la intensidad del termostato que nos permite minimizar el tiempo de conexión entre dos estados estacionarios y analizamos el comportamiento del sistema al aplicar dicho protocolo, resolviendo analíticamente su dinámica. Así mismo, se investiga la dependencia de los resultados obtenidos con el rango de valores disponibles para la intensidad del termostato. Por último, exploramos el límite de validez de la aproximación lineal. |
Cita | Ruiz Pino, N. (2022). Del cálculo variacional a la teoría del control óptimo: Aplicación a sistemas lejos del equilibrio. (Trabajo Fin de Grado Inédito). Universidad de Sevilla, Sevilla. |
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DGFM RUIZ PINO, NATALIA.pdf | 1.821Mb | [PDF] | Ver/ | |