Caos lineal

Abstract

Chaos is a concept that has always attracted the attention of mathematicians and physicists as well as the general public. This dissertation deals with the concept of Chaos in the framework of linear Dynamical Systems. It may be a paradox that Chaos not only exists in these systems, but it appears in a much more complicated and not yet known way than in the nonlinear case. Although there is no uni ed de nition, throughout this report we will use the de nition of Chaos given in 1986 by Robert L. Devaney. Thus, a (discrete) Dynamical System will be chaotic if there is a dense orbit, a dense set of periodic orbits and if it has sensitive dependance on initial conditions. The property of existence of a dense orbit is also known as hypercyclicity and happens to be the central idea of Linear Chaos. This dissertation is divided into four chapters. In the rst one, with the clear objective of being self-contained, we will brie y recall the basic notions of Functional Analysis, Operator Theory and Topology that will be used later. The second Chapter is devoted to the concept of Chaos. We give the rigorous de - nition of a Dynamical System and with the help of simple examples we will introduce the de nition of Chaos. Finally, we will prove that the rst two conditions of chaos it selves imply the third one, that is, sensitive dependence on initial conditions, also known as Butter y E ect. In the third Chapter we will focus on the study of hypercyclic operators and some of its fundamental properties. We will extend the concept of hypercyclicty to a sequence of operators and conclude by showing a su cient condition, known in the literature as Hypercyclicity Criterion, for a sequence to be hypercyclic. The present report nishes with several classical examples of chaotic operators. More speci cally, we will prove that both the translational operator and the di eren tiation operator are chaotic on the space of entire functions, and that some multiples of the backward shift operator are also chaotic on ellp and c0. Studying Linear Chaos has allowed us to introduce into a line of work that combines concepts from Functional Analysis, Operator Theory and Topology. This eld has been developed in the last 25 years, although its origins date back to the rst decades of the twentieth century. We have divided the Bibliography section into two parts. In the rst block we collected references that have been intensively handled to carry out this report. In the second one, we have included a collection of some of the most relevant papers in the literature, both classical and modern, that illustrate the importance that the study of Linear Chaos has acquired.

El Caos es un concepto que siempre ha llamado la atención tanto de matemáticos y físicos como del público en general. El presente trabajo versa sobre el Caos en el ámbito de Sistemas Dinámicos lineales. Aunque pueda parecer paradójico, el Caos en este tipo de sistemas no sólo existe, sino que puede presentarse bajo apariencias mucho más complicadas y que aún no se conocen en el caso no lineal. Aunque no hay una definición unificada, a lo largo de la presente memoria utilizaremos la definición de Caos dada en 1986 por Robert L. Devaney. Así, un Sistema Dinámico (discreto) será caótico si existe una órbita densa, un conjunto denso de órbitas periódicas y si es sensible de las condiciones iniciales. La propiedad de existencia de órbita densa se conoce también como hiperciclicidad y resulta ser el eje central del Caos Lineal. Este trabajo se dividirá en cuatro capítulos. En el primero de ellos, con el claro objetivo de que la lectura sea autocontenida, haremos un breve recordatorio de las nociones básicas de Análisis Funcional, Teoría de Operadores y Topología que se usarán en los capítulos posteriores. El segundo Capítulo se dedica al concepto de Caos. Partiremos de la definición rigurosa de Sistema Dinámico para, a través de ejemplos sencillos, avanzar en la denición de Caos. Para analizar, probaremos que las dos primeras condiciones de caos implican la tercera de ellas, es decir, la dependencia sensible de las condiciones iniciales, más conocida como Efecto Mariposa. En el Capítulo tercero nos centraremos en el estudio de la hiperciclicidad de un operador y algunas de sus propiedades fundamentales. Extenderemos el concepto de hiperciclicidad a una sucesión de operadores y concluiremos ofreciendo una condición suciente para la hiperciclicidad de una sucesión, conocido en la literatura como Criterio de Hiperciclicidad. La memoria analiza presentando varios ejemplos clásicos de operadores caóticos. Concretamente, veremos que tanto el operador de traslación como el operador derivación son caóticos sobre el espacio de las funciones enteras, y comprobaremos que ciertos múltiplos del operador backward shift también son caóticos sobre los espacios de sucesiones ℓp ó c0. La realización del presente trabajo nos ha permitido adentrarnos en una línea de investigación que conjuga conceptos propios del Análisis Funcional, la Teoría de Operadores y la Topología. Se trata de un campo que se ha desarrollado principalmente en los últimos 25 años, aunque sus orígenes se remonten a las primeras décadas del siglo XX. La bibliografía la hemos dividido en dos partes. En primer lugar destacamos la Bibliografía fundamental, en la que hemos recogido las referencias que se han manejado con mayor intensidad para la realización del trabajo. Por otro lado, bajo el epígrafe de Otras referencias hemos incluido una colección de algunos de los artículos más importantes en la literatura, tanto clásicos como modernos, y que ilustran la importancia que el estudio del Caos Lineal ha adquirido.