Positivity conditions and hook+column sequences of plethystic coefficients

Abstract

In this work we aim to study and better understand the coefficients of the plethystic operation on the symmetric functions. We will try to be as self-contained as possible, beginning with the basic definitions of symmetric functions and some proven formulas on them. We give a condition on the positivity of the coefficient [sμ](pn◦sλ) of the plethysm between a power sum function pn and a Schur function sλ, namely, λ⊆μ. We then study the coefficients of the Schur expansion of a plethystic family of functions sn1◦sn2◦...◦snk=∑aλsλwhenλis a partition of the form (α,2β,1γ) (hook+column). We completely characterize the cases2◦sn◦sm. Fixing aγ, and letting β vary, we associate a sequence of coefficients (a0,a1,...,aβ,...) to each functionf, and prove that f=s2◦s2◦···s2◦sn◦sm always yields a symmetric sequence. Finally, we make some remarks and conjectures regarding unimodality and asymptotic normality of these sequences.

En este trabajo pretendemos estudiar y entender la operación pletística sobre las funciones simétricas. Intentaremos ser autocontenidos, empezando por las definiciones más básicas de qué es una función simétrica y enunciando resultados conocidos sobre ellas. Damos una condición de positividad del coeficiente [sμ](pn◦sλ) del pletismo entre una función suma de potencias pn y una función de Schu rsλ, concretamente λ⊆μ. Estudiaremos seguidamente la expansión sobre la base de Schur the una familia pletística de funciones sn1◦sn2◦...◦snk=∑aλsλ para particiones λ de la forma (α,2β,1γ) (gancho+columna). Caracterizamos completamente el casos2◦sn◦sm. Fijando un γ y dejando β variar, asociamos una sucesión finita (a0,a1,...,aβ,...) de coeficientes a cada función f, y probamos que f=s2◦s2◦···s2◦sn◦sm siempre está asociada a una sucesión simétrica. Finalmente, damos algunos comentarios y conjeturas sobre la unimodalidad y la normalidad asintótica de dichas sucesiones.

Dans ce travail nous avons l’intention d’étudier et de mieux comprendre le pléthysme des fonctions symétriques. Nous commençons par donner les définitions les plus basiques des fonctions symétriques, et par énoncer les principaux résultats les concernant, pour en donner une présentation complète. Nous donnons une condition sur la positivité du coefficient [sμ](pn ◦sλ) du pléthysme d’une fonction symétrique somme de puissances pn avec une fonction de Schur sλ, plus concrètement, λ ⊆ μ. Puis, nous étudions le développement dans la base de Schur d’une famille de pléthysmes sn1 ◦ sn2 ◦ ... ◦ snk = ∑ aλsλ quand λ est une partition de la forme (α, 2β , 1γ ) (équerre+colonne). Nous donnons une formule explicite pour le cas s2 ◦ sn ◦ sm. En fixant γ et en faisant varier β, on peut associer à chaque fonction f une suite finie (a0, a1, ..., aβ , ...) de ses coefficients. Nous montrons que les suites associées à f =s2 ◦ s2 ◦ · · · s2 ◦ sn ◦ sm sont toujours symétriques. Finalement, nous faisons quelques remarques sur l’unimodalité et normalité asymptotique de ces suites.