Modelos Estadísticos de Riesgo. Aplicaciones Actuariales

Abstract

Risk is an important topic in contemporary society. People are confronted with risks from financial markets, nuclear power plants, natural disasters and privacy leaks in ICT systems, these are just some of the areas in which uncertainty and risk of harm play an important role. In this dissertation the probabilistic and statistical foundations of Risk Theory are developed in order to provide an analytic view to Actuarial Science. Practical examples and applications are given to support explanations. We begin with a chapter of preliminaries in which results and definitions about the generating functions of probability and moments are given due to they are tools frequently used in this work. Then we go into the individual risk model. We highlight the importance of mixed random variables in the economic and actuarial context. We present the individual model which is characterised by the fact that the portfolio of the insurance company is fixed, so the number of claims is limited. Claims 푋푖 are random variables independently and with the same distribution, not necessarily with the same parameter. We focus on the study of the distribution of the claimed amount defined as 푆 = 푋1 + . . . + 푋푛 . For this, properties on the random variable 푆 and approximations to high quantiles of its distribution are given. Then we have the collective model. In this case the number of claims is modeled by a random variable 푁. Depending on the distribution that follows the number of claims, 푆, the claim amount will follow one distribution or another. We normally assume that the number of claims follows a Poisson, in this case the risk follows a compound Poisson. However, when there is overdispersion we will use the Negative Binomial. Finally, we present the Panjer formula that gives an algorithm for the explicit distribution of 푆 when the amounts claimed are discrete. Once the collective risk model is developed, we introduced the ruin theory. The ruin model describes the stability of an insurer. Starting from capital u at time 푡 = 0, his capital is assumed to increase linearly in time by fixed annual premiums, but it de-creases with a jump whenever a claim occurs. The insurer’s capital in the instant 푡 is a stochastic process, because, in this case, the number of claims is a random variable indexed by time. Ruin occurs when definite capital becomes negative. A limit will be given for the probability of coming to ruin in finite time. It can be observed that a study of the amount claimed or risk is made on different occasions: first, in the individual model in which the number of claims is fixed, second, in the collective model, where the number of claims is modeled by a discrete random variable and in the latter case, in the ruin theory where it is shown that the number of claims is a random variable depending on time.

El riesgo es un tema muy importante y presente en la sociedad contemporánea. Nos enfrentamos a riesgos de mercados financieros, centrales de energía nuclear, desastres naturales y fugas de privacidad en los sistemas TIC, entre otros casos. En este trabajo, se desarrollan fundamentos probabilísticos y estadísticos de la Teoría de Riesgo para proporcionar una visión analítica a la Ciencia Actuarial. Se darán ejemplos prácticos y aplicaciones para apoyar las explicaciones. Comenzamos con un capítulo de preliminares en el que se definen y se dan resultados sobre las funciones generatrices de probabilidad y de momentos que son herramientas frecuentemente usadas en este trabajo. Luego, nos adentramos en el modelo de riesgo individual. Destacamos la importancia de las variables aleatorias mixtas en el contexto económico y actuarial. Presentamos el modelo individual que se caracteriza porque la cartera de la compañía aseguradora es fija, por lo que el número de reclamaciones está acotado. Las reclamaciones 푋푖 son v.a. independientes y con la misma distribución, pero no necesariamente de igual parámetro. Nos centramos en el estudio de la distribución de la cantidad reclamada definida como 푆 = 푋1 + . . . + 푋푛 . Para ello, se dan propiedades sobre la variable aleatoria 푆 y aproximaciones a cuantiles altos de su distribución. A continuación, tenemos el modelo colectivo. En este caso el número de reclamaciones es modelado por una variable aleatoria 푁. Según la distribución que siga el número de reclamaciones, la cantidad reclamada 푆 seguirá una distribución u otra. Normalmente suponemos que el número de reclamaciones sigue una Poisson, en este caso el riesgo 푆 sigue una Poisson compuesta. Sin embargo, cuando hay sobredispersión usaremos la Binomial Negativa. Finalmente, presentamos la fórmula de Panjer que da un algoritmo para la obtención explícita de la distribución de 푆 en el caso de que las cantidades reclamadas sean discretas. Una vez desarrollado el modelo de riesgo colectivo, introducimos la teoría de la ruina. El modelo de ruina describe la estabilidad de un asegurador. Comenzando con un capital 푢 en el instante inicial, este capital aumenta de forma lineal a partir de primas anuales fijas, pero cuando ocurren reclamaciones disminuye a saltos. El capital del asegurador en el instante 푡 es un proceso estocástico, debido a que, en este caso, el número de reclamaciones es una variable aleatoria indexada por el tiempo. La ruina ocurre cuando el capital definido se hace negativo. Se dará una cota para la probabilidad de llegar a la ruina en tiempo finito. Puede observarse que se hace un estudio de la cantidad reclamada o riesgo en diferentes ocasiones: primero, en el modelo individual en el que el número de reclamaciones es fijo, segundo, en el modelo colectivo, donde el número de reclamaciones es modelado por una variable aleatoria discreta y en el último caso, en la teoría de la ruina que se tiene que el número de reclamaciones es una variable aleatoria en función del tiempo.