El algoritmo alternante de von Neumann

Abstract

The aim of this work is to study in depth the alternating algorithm proposed by John von Neumann in 1933. This algorithm deals with the problem of finding the ortogonal projection of a point in a Hilbert space onto the intersection of two closed subspaces, in terms of the alternating orthogonal projections onto the respective subspaces. We will study the convergence of the method and its rate of convergence, as well as the generalization of such algorithm to more than two subspaces or to the case when the subspaces are replaced by convex subsets. Finally, we discuss some applications where the method plays an important role, like the approximate solution of systems of linear equations or the Dirichlet problem.

El objetivo de este trabajo es estudiar en profundidad el algoritmo alternante propuesto por John von Neumann en 1933. Este algoritmo trata el problema de encontrar la proyección ortogonal de un punto en un espacio de Hilbert sobre la intersección de dos subespacios cerrados, en términos de la proyecciones ortogonales alternadas sobre los respectivos subespacios. Además estudiamos la convergencia del método y su ritmo de convergencia, así como la generalización de dicho algoritmo a más de dos subespacios, o el caso cuando los subespacios se reemplazan por subconjuntos convexos. Por ´ultimo, discutimos algunas aplicaciones donde el método desempeña un papel importante, como la aproximación de sistemas de ecuaciones lineales o el problema de Dirichlet.