Familias y espacios de funciones holomorfas en regiones del plano

Abstract

In this work we focus our attention on a collection of function spaces whose analysis is not deepened usually during the teaching of a Degree in Mathematics. Specifically, we are interested in properties of several spaces of analytic functions defined on an open subset of the complex plane. In the Degree courses, basic properties of holomorphic functions are taught, their singularities are studied, integrals along paths are calculated, connection with harmonic functions of two real variables is established, conformal representation among plane regions are dealt with, convergence of series and infinite products of analytic functions are analyzed, and the space of all holomorphic functions in plane regions -endowed with the topology of uniform convergence in compacta- is introduced. The aim of this work is to go in more depth into the study of this space, as well as of several subfamilies and subespaces of it. In some cases, such subspaces can be endowed with topologies that are different from the one inherited from the whole space. In the present dissertation, that is divided into five chapters, we shall start from the above mentioned space of holomorphic functions and introduce the so-called normal families, as an extension of the concept of relatively compact families that were characterized by Paul Montel. Next, it is presented the class of subharmonic functions as a tool to solve the Dirichlet Problem in a plane region. Later, we shall study the most emblematic holomorphic function spaces, which are mainly considered in the unit disk. These spaces are the Bergman space, the space of bounded holomorphic functions, and the Hardy spaces, each of them with its kind of convergence and structural features. Moreover, we shall dealt with an auxiliary family of functions -the so-called Nevanlinna class- that will help us to prove a number of properties in the setting of Hardy spaces. It is fair to say that spaces of holomorphic functions continue on aweaking the interest of many mathematicians since more than a century ago. Obviously, the present work does not intend to be comprehensive, but we will try to sum up the most important aspects about this theory, so we can see the most relevant results comfortably. Nevertheless, and with the aim to be as selfcontained as possible, we have incorporated a number of preliminary results into some chapters.

En este trabajo se pretende centrar la atención sobre una serie de espacios funcionales en cuyo estudio no se suele profundizar en un Grado en Matemáticas. En concreto, estamos interesados en propiedades de diversos espacios de funciones analíticas definidas sobre un subconjunto abierto del plano complejo. En los estudios de grado, se imparten las propiedades básicas de las funciones holomorfas, se estudian sus singularidades, se calculan integrales curvilíneas, se establece conexión con las funciones armónicas de dos variables, se trata sobre representación conforme de regiones, se analiza la convergencia de series y productos infinitos de funciones analíticas, y se introduce el espacio de las funciones holomorfas en regiones planas dotado de la topología de la convergencia uniforme en compactos. El objetivo de este trabajo es adentrarnos en el estudio de este espacio, así como de varias familias y de algunos subespacios vectoriales del mismo, los cuales, en algunos casos, pueden dotarse de topologías distintas de la heredada del espacio total. En la presente memoria, que se divide en cinco capítulos, partimos del citado espacio de funciones holomorfas e introducimos las familias normales, como extensión del concepto de familias relativamente compactas caracterizadas por Paul Montel. A continuación se introduce la clase de las funciones subarmónicas, como instrumento para resolver el Problema de Dirichlet en una región plana. Los espacios de funciones holomorfas más emblemáticos, que serán considerados sobre todo en el disco unidad, son el espacio de Bergman, el espacio de las funciones acotadas y los espacios de Hardy, todos ellos con sus tipos de convergencia y sus características estructurales particulares. Asimismo, se estudia una familia auxiliar de funciones, la llamada clase de Nevanlinna, que nos ayuda a probar diversas propiedades en el ámbito de los espacios de Hardy. Es justo decir que los espacios de funciones holomorfas siguen despertando el interés de muchos matemáticos desde hace más de un siglo. Obviamente nuestro trabajo no pretende ser exhaustivo, pero se ha procurado condensar lo más importante al respecto para que se pueda consultar de forma cómoda lo más relevante. No obstante, y con la intención de que el trabajo sea lo más autocontenido posible, se han incorporado algunos resultados preliminares en algunos capítulos.