Modelos de distribuciones obtenidas de la distribución normal

Abstract

El objetivo de este trabajo es el estudio de modelos continuos de tiempo de vida relacionados con la distribución Normal. Específicamente, nos centramos en las distribuciones Log-Normal, Inversa Gaussiana y Birnbaum-Saunders. Todos ellos son modelos biparamétricos en que se darán propiedades que permiten estudiar la forma de la distribución, obtener características de interés en teoría de fiabilidad y análisis de supervivencia, y realizar inferencia. Se ha estudiado la estimación de los parámetros del modelo, tanto para datos completos como para muestras censuradas. Cabe destacar que en la mayoría de las ocasiones, para el proceso de estimación habrá que recurrir a técnicas numéricas. El estudio teórico de cada modelo se ha completado con aplicaciones a datos reales (completos y censurados) utilizando el software RStudio. La memoria se ha estructurado en cuatro capítulos. En el Capítulo 1 se introducen herramientas básicas en modelos de tiempo de vida, como son la función de supervivencia, función de riesgo o hazard, y cuantiles. Para la estimación de parámetros se propone el método de máxima verosimilitud, introduciendo las modificaciones adecuadas para tratar con muestras censuradas. El capítulo se completa con una recopilación de resultados en la distribución normal que se usarán posteriormente. El Capítulo 2 se dedica a la distribución Log-Normal. Se obtienen su función de supervivencia, función de hazard y momentos, los cuáles nos serán útiles para estudiar la forma de la distribución y propiedades de los estimadores. Destacar que en la estimación para datos completos se tienen fórmulas cerradas, y para datos censurados se han de aplicar métodos numéricos (paquete survival de R). En el Capítulo 3 se estudia la distribución Inversa Gaussiana siguiendo la parametrización propuesta por Tweedie. Se recogen propiedades, función generatriz de momentos y de cumulantes y resultados sobre la interpretación de los parámetros. Cabe destacar que al realizar inferencia para muestras completas se tiene un resultado análogo al Teorema de Fisher para poblaciones normales. Finalmente, en el Capítulo 4 se realizará un estudio más extenso de la distribución Birnbaum-Saunders, debido a su importante base física entre otras propiedades interesantes. Veremos cómo surge la distribución a partir de un proceso de fatiga cíclica, y las propiedades fundamentales de la misma. Asímismo, se considerará la notable relación que guarda con la distribución Inversa Gaussiana, además de resultados de inferencia mediante diferentes métodos que se verán reflejados en las aplicaciones a datos reales, las cuales darán por concluido este trabajo.

The aim of this dissertation is to study continuous lifetime models related to the Normal distribution. Specifically, we will focus on the Log-Normal, Gaussian Inverse and Birnbaum Saunders distribution. All of them are two-parameter models in which properties will be given that allow us to study the shape of the distribution, to obtain summaries of interest in Reliability Theory and Survival Analysis, and to carry out Inference. The issue of estimation of parameters in the model is studied for complete data and for censored data. It is important to note that, quite often, numerical techniques are necessary in the process of estimation. Applications to real dataset (complete and censored data) ha been carried out by using the software RStudio. The document is divided into four chapters. In Chapter 1, the basic tools in lifetime models are introduced. These are: survival function, hazard function and quantiles. Estimation of parameters is carried out by using maximum likelihood. Specific results for censored samples are given. To conclude the chapter, a section is included dealing with relevant results in the normal distribution, which will be used later. Chapter 2 is devoted to Log-Normal distribution. Its survival function, hazard function and moments are given. Moments will be useful to study the shape of the distribution and to obtain properties of estimators. As for the estimation of parameters, we highlight that, in the case of complete data we have closed expressions. On the other hand, for censored data numerical techniques must be applied (R survival package). In Chapter 3, the Gaussian Inverse distribution is studied with the parameterization proposed by Tweedie. Properties, moment and cumulant generating functions, and results, which allow us to interpret the parameters in this model, are given. As for the inference in this model for complete data, we highlight a result analogous to Fisher Theorem in normal populations. Finally, in Chapter 4, the Birnbaum-Saunders model is studied in depth, due to its interesting physical interpretation amongst other important properties. The BirnbaumSaunders distribution models fatigue life of a metal, subject to a cyclic stress, from which it has some special characteristics. It is also remarkable the relationship between Birnbaum-Saunders and Inverse Gaussian distribution. This work concludes with some inference results, where a numerical method is also given in order to estimate this model’s parameters. These results will be reflected in the final applications to real data, differentiating between complete and censored samples.