Tesis (Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico)

URI permanente para esta colecciónhttps://hdl.handle.net/11441/10837

Examinar

Mostrando 1 - 20 de 69

Study of a nonlocal Chafee-Infante equation using semigroup theory
(2024-06-06) Julio Pérez, Yessica Yulieth; Caraballo Garrido, Tomás; Carvalho, Alexandre Nolasco; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
In this work, we focus on analyzing non-local and quasilinear variations of the Chafee-Infante problem, including one variant with delay. To tackle these challenges, we use a time reparameterization, enabling us to reframe them as semilinear problems. We present an abstract approach to semilinear equations, offering broad applicability and facilitating extension to diverse models. Our analysis encompasses several key aspects. Firstly, we address the existence (possibly non-unique) of mild solutions and their regularity, contingent upon an appropriate modulus of continuity on the nonlinearity. Additionally, we explore comparison results utilizing the variation of constants formula. Leveraging these comparisons, we establish global existence, under the supplementary condition that the nonlinearity adheres to a structural criterion and is complemented by uniform bounds provided that the nonlinearity exhibits dissipative behavior. Furthermore, we establish the existence of global/pullback attractor for the associated multivalued semigroup/process.
Dynamics of deterministic and stochastic systems containing colored noise and delay or memory
(2024-04-12) Wang, Fengling; Caraballo Garrido, Tomás; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
This thesis is concerned with the dynamics of deterministic systems with memory, as well as stochastic systems with nonlinear white (colored) noise, with or without delay. In the three parts of the thesis, we specifically study nonlocal semilinear degenerate heat equations in Chapter 1, random p-Laplace equations in Chapter 2-Chapter 3, and stochastic modified Swift-Hohenberg lattice systems in Chapter 4-Chapter 5. In Chapter 1, we consider the existence of global attractors of nonlocal semilinear degenerate heat equations with degenerate memory on a bounded domain. We use the Faedo-Galerkin method to prove the existence of solutions of the non-degenerate heat equation, and then use it to approximate the equation obtained by the Dafermos transform, which is subsequently combined with the properties of the defined associated operators to obtain the existence, uniqueness, and regularity of solutions to the original degenerate problem. In addition, we establish an autonomous dynamical system and thereafter show the existence of the global attractor of the original problem. In Chapter 2, we show the continuity of pullback random attractors for random p-Laplace equations driven by nonlinear colored noise on unbounded domains. We establish abstract results for the existence and residual dense continuity of a unique pullback random bi-spatial attractor. In its proof, we may consider the larger metric space of all closed bounded sets in regular space and will use the abstract Baire residual theorem and the Baire density theorem. After that, we justify the existence and the residual dense continuity of pullback random bi-spatial attractors of the random p-Laplace equation on both initial space and regular space. In Chapter 3, we prove the existence of pullback random attractors for random p-Laplace equations with nonlinear color noise and infinite delays on a bounded domain. To obtain the existence of weak solutions to the equation, we use the traditional Galerkin approximation technique. Since the data for the problem do not satisfy a Lipschitz continuity condition, the weak solution may not be unique. By proving the continuity and the cocycle property of solutions, as well as the measurability of setvalued maps generated by multiple solutions, thus generate a multi-valued random dynamical system. As a further result, we prove the existence and measurability of a pullback attractor in the framework of multi-valued random dynamical systems. In Chapter 4, we take into account the existence and the limiting behavior of periodic measures for the stochastic delay modified Swift-Hohenberg lattice systems with nonlinear white noise. We need to prove the tightness of distribution laws of solutions to the system, and then combine it with Krylov- Bogolyubov’s method to prove the existence of periodic measures of the lattice system. Then, by strengthening the as- sumptions, we prove that the set of all periodic measures is weakly compact, and also show that every limit point of a sequence of periodic measures of the original system must be a periodic measure of the limiting system when the noise intensity tends to zero. In Chapter 5, we investigate the asymptotic stability of evolution systems of probability measures for stochastic discrete modified Swift-Hohenberg equations with nonlinear white noise. We use the technique of cut-off functions and a stopping time to establish the well-posedness of the system in the Bochner space. Based on uniform tail estimates, we can show the tightness of distribution laws of solutions and thus the existence of evolution systems of probability measures. Moreover, we discuss that the evolution system of probability measures of the limit equation is the limit of the evolution system of probability measures when the noise intensity tends to a certain value.
Some applications of reduced order modelling to slow-fast dynamical systems, turbulence models and elliptic PDEs
(2024-03-08) Bandera Moreno, Alejandro; Chacón Rebollo, Tomás; Fernández García, Soledad; Gómez Mármol, María Macarena; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
En las últimas décadas, el progreso tecnológico ha elevado el rol de las simulaciones numéricas a ser una herramienta fundamental en la mayoría de ciencias y aplicaciones tecnológicas. Para ser más exactos, las simulaciones basadas en modelos apoyados en ecuaciones diferenciales adquieren un papel crítico debido a su diversidad de aplicaciones, que cubren desde ingeniería hasta economía, incluyendo áreas tan importantes como la medicina. Estas simulaciones sirven de plataformas virtuales que permiten la realización de experimentos, contribuyendo enormemente a la comprensión de diversas propiedades de los sistemas y sus dinámicas. Sin embargo, trabajar con los sistemas altamente complejos necesarios para aplicaciones realistas y efectivas supone un reto significante. Tales sistemas normalmente tienen asociadas decenas de miles o millones de grados de libertad, haciendo su resolución numérica prohibitivamente cara si se utilizan métodos convencionales. Esta complejidad requiere recursos computacionales extensos, necesitando horas o incluso días de computación, junto a Computación de Alto Rendimiento o arquitecturas informáticas específicas. Esto representa un gran problema, especialmente cuando se necesita una simulación en tiempo real o interactiva, o cuando se consideran múltiples valores de los parámetros, por ejemplo, en la asistencia en los procesos de toma de decisiones o diseño industrial. Esta tesis doctoral tiene como propósito abordar el reto de los altos costes computacionales asociados con los modelos realistas, y es en este punto donde el concepto de Modelado de Orden Reducido (ROM, por sus siglas en inglés) entra en juego. La filosofía subyacente en este campo recae en reemplazar el costoso problema original por uno alternativo, computacionalmente eficiente, que mantenga las propiedades cualitativas y cuantitativas esenciales de la solución original. En general, el uso de las técnicas ROM está motivado por la necesidad de mantener un balance entre la precisión y la eficiencia computacional en varias aplicaciones, permitiendo el análisis y la manipulación de sistemas complejos de una forma más práctica y manejable. Las principales contribuciones de esta tesis doctoral se enmarcan en tres aplicaciones diferentes: sistemas dinámicos lento-rápido, modelos de turbulencia y Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) elípticas. Relativo a la primera, el foco se sitúa en el estudio y simulación de modelos de redes de actividad neuronal que involucran múltiples escalas de tiempo. Estos modelos se tratan por medio de un método inédito basado en la Descomposición Ortogonal Propia, con el objetivo específico de abordar una de las limitaciones que presenta, a saber, la potencial pérdida de estructura del modelo original. En este caso, la pérdida de la separación de escalas temporales. En lo que respecta a los modelos de turbulencia, el énfasis se encuentra en el modelo de Smagorinsky y el método de Bases Reducidas. Aquí, el objetivo es salvar una limitación del método relativa al reto de obtener un estimador de error a posteriori basado en análisis matemático, que depende de la discretización numérica. En particular, desarrollamos un estimador de error basado en la teoría de cascada de energía de Kolmogórov. Por último, relativo a las EDPs elípticas, el objetivo que nos planteamos se centra en la resolución de EDPs elípticas simétricas y en calcular el mejor subespacio que aproxima su solución. La investigación gira en torno al método de la Descomposición Generalizada Propia (PGD), con el propósito de abordar una limitación asociada al cálculo de los modos PGD óptimos. Específicamente, el propósito es explorar la posibilidad de calcular directamente estos modos en una variedad de Grassmann, utilizando el conocido algoritmo del Gradiente Descendente, adaptado a este marco.
Characterization of attractors for non-autonomous dynamical systems: Applications to non-dissipative case and ecological models
(2024-02-23) García Fuentes, Juan; Caraballo Garrido, Tomás; Langa Rosado, José Antonio; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
Esta tesis está dedicada a la exploración de atractores para sistema dinámicos. Nuestro análisis sigue dos enfoques distintos: uno más abstracto, centrándose en atractores no acotados, y otra investigación más aplicada que involucra el modelo Lotka-Volterra no autónomo. La sección dedicada al atractor no acotado se ocupa de establecer la existencia de un conjunto invariante y cerrado que atraiga conjuntos acotados en el caso de que existan ´orbitas que tienden al infinito en tiempo infinito, es decir, para semigrupos lentamente no disipativos. Siguiendo la línea de [CG92], definimos el concepto de atractor no acotado, establecemos condiciones para su existencia y demostramos que es el conjunto de ´orbitas acotadas en el pasado. Además, profundizamos en su estructura interna, descomponiéndolo en un conjunto de órbitas completamente acotadas y sus conexiones heteroclínicas con el infinito, y estudiamos el conjunto !-límite para este tipo de semigrupos. Continuando nuestro estudio de atractores no acotados, extendemos las técnicas al marco no autónomo, proporcionando condiciones para la existencia de un atractor pullback no acotado. Nuestro análisis abarca sus propiedades y estructura, incluido el conjunto pullback !-límite. Concluimos esta sección aplicando los resultados encontrados a la ecuación en derivadas parciales u1 = Au + f(u), demostrando la existencia del atractor no acotado bajo ciertas condiciones impuestas sobre A y f. Por otro lado, la sección dedicada al modelo Lotka-Volterra no autónomo se centra en establecer condiciones para la existencia y caracterización del atractor forward. Inicialmente consideramos que el sistema es completamente no autónomo, con el vector de tasa de crecimiento intrínseco, y la matriz de interacción entre especies como funciones dependientes del tiempo. Bajo ciertas condiciones impuestas a dicho vector, demostramos la existencia de una solución globalmente estable junto con sus conexiones heteroclínicas con las soluciones semiestables. Además, establecemos que cualquier solución que no pertenezca a este atractor es no acotada en tiempo pasado. Finalmente, simplificamos el sistema al centrarnos en un sistema Lotka-Volterra no autónomo de dos dimensiones, con solo el vector de tasas de crecimiento intrínseco como funciones dependientes del tiempo. Esta reducción nos permite aliviar la fuerza de las condiciones previamente impuestas, y proporciona una comprensión más matizada de la dinámica. Dependiendo del comportamiento del vector, identificamos dos estructuras distintas para el atractor forward donde, en ambos casos, la solución globalmente estable exhibe valores estrictamente positivos para ambas coordenadas.
Analysis and optimal control for chemotaxis-consumption models
(2023-07-19) Correa Vianna Filho, André Luis; Guillén González, Francisco Manuel; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
En esta tesis investigamos el siguiente modelo de quimiotaxis-consumo en dominios acotados de RN (N = 1, 2, 3): ∂tu − Δu = −∇ · (u∇v), ∂tv − Δv = −usv, donde s ≥ 1, dotado de condiciones de contorno aisladas y condiciones iniciales para (u, v), con u y v representando la densidad de células y la concentración de la señal química, respectivamente. Bajo hipótesis poco exigentes sobre la regularidad del dominio y a través de la convergencia de las soluciones de un modelo truncado adecuado, se establecen dos resultados principales: existencia de soluciones débiles uniformes en el tiempo en dominios 3D, y unicidad y regularidad en dominios 2D (o 1D). Utilizando la teoría desarrollada en este análisis teórico, proponemos y estudiamos un esquema discreto en tiempo implícito tipo Backward Euler para dicho modelo combinado con el uso de una variable auxiliar, probando existencia de solución, estimaciones a priori uniformes en el tiempo y convergencia hacia una solución débil (u, v) del modelo quimiotaxis-consumo. A continuación abordamos problemas de control óptimo sujetos al siguiente modelo de quimiotaxis-consumo controlado de forma bilineal en un dominio acotado Ω ⊂ R3 durante un intervalo de tiempo (0, T): ∂tu − Δu = −∇ · (u∇v), ∂tv − Δv = −usv + fv1Ωc , siendo f el control que actúa en un subdominio Ωc ⊂ Ω. En primer lugar, abordamos un problema de control óptimo relacionado con las soluciones débiles del modelo de quimiotaxis-consumo controlado. Demostramos la existencia de soluciones débiles que satisfacen una desigualdad de energía, la existencia de control óptimo sujeto a controles acotados y discutimos la relación entre el problema de control considerado y otros dos relacionados que pueden ser de interés. A continuación estudiamos un problema de control óptimo sujeto a soluciones fuertes del citado modelo de quimiotaxis-consumo controlado. Demostramos un criterio de regularidad que nos permite obtener existencia y unicidad de soluciones fuertes globales en el tiempo, mostramos la existencia de una solución óptima global y, utilizando un teorema de multiplicadores de Lagrange, establecemos condiciones de optimalidad de primer orden para cualquier solución óptima local, probando existencia, unicidad y regularidad de los multiplicadores de Lagrange asociados. Finalmente, en el capítulo de conclusiones, discutimos una serie de posibles trabajos futuros relacionados con los resultados presentados en esta tesis.
Dynamics of stochastic systems with delay and applications to real models
(2023-06-22) Yang, Shuang; Caraballo Garrido, Tomás; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
In this thesis we investigate the long time behavior of random dynamical systems associ- ated to several kinds of stochastic equations with delays in terms of stability for stationary solutions, weak pullback mean random attractors, random attractors and numerical attrac- tors. The thesis consists of three parts, where the rst part covers Chapters 1-3, the last two cover Chapters 4 and 5, respectively. Chapters 1-3 are devoted to the random dynamics of 3D Lagrangian-averaged Navier- Stokes equations with in nite delay in three cases. In Chapter 1 we consider the stability analysis of such systems in the case of bounded domains. We rst use Galerkin's approximations to prove the existence and uniqueness of solutions when the non-delayed external force is locally integrable and the delay terms are globally Lipschitz continuous with an additional assumption. We then prove the existence of a unique stationary solution to the corresponding deterministic equation via the Lax- Milgram and the Schauder theorems. The stability and asymptotic stability of stationary solutions (equilibrium solutions) are also established. The local stability of stationary so- lutions for general delay terms is carried out by using a direct method and then apply the abstract results to two kinds of in nite delays. It is worth mentioning that all conditions are general enough to include several kinds of delays, where we mainly consider unbounded variable delays and in nite distributed delays. As we know, it is still an open and challenging problem to obtain su cient conditions ensuring the exponential stability of solutions in case of unbounded variable delay. Fortunately, we obtained the exponential stability of stationary solutions in the case of in nite distributed delay. However, we are able to further investigate the asymptotic stability of stationary solutions in the case of unbounded variable delay by constructing suitable Lyapunov functionals. Besides, we proved the polynomial asymptotic stability of stationary solutions for the particular case of proportional delay. In Chapter 2, we further discuss mean dynamics and stability analysis of stochastic sys- tems in the case of unbounded domains. We rst prove the well-posedness of systems with in nite delay when the non-delayed external force is locally integrable, the delay term is globally Lipschitz continuous and the nonlinear di usion term is locally Lipschitz continu- ous, which leads to the existence of a mean random dynamical system. We then obtain that such a dynamical system possesses a unique weak pullback mean random attractor, which is a minimal, weakly compact and weakly pullback attracting set. Moreover, we prove the existence and uniqueness of stationary solutions to the corresponding deterministic equa- tion via the classical Galerkin method, the Lax-Milgram and the Brouwer xed theorems. 1 We discuss in the last part of Chapter 2 with those stability results concerning stationary solutions discussed in Chapter 1. The last case is concerned with the invariant measures for the autonomous version of stochastic equations in Chapter 3 by using the method of generalized Banach limit. We rst use Galerkin approximations, a priori estimates and the standard Gronwall lemma to show the well-posedness for the corresponding random equation, whose solution operators generate a random dynamical system. Next, the asymptotic compactness for the random dynamical system is established via the Ascoli-Arzel a theorem. Besides, we derive the existence of a global random attractor for the random dynamical system. Moreover, we prove that the random dynamical system is bounded and continuous with respect to the initial values. Eventually, we construct a family of invariant Borel probability measures, which is supported by the global random attractor. It is well-known that lattice dynamical systems have wide applications in physics, chem- istry, biology and engineering such as pattern formation, image processing, propagation of nerve pulses, electric circuits and so on. The theory of attractors for deterministic or s- tochastic lattice systems has been widely developed. Therefore, we focus on the asymptotical behavior of attractors for lattice dynamical systems in the last two chapters. Two problems related to FitzHugh-Nagumo lattice systems are analyzed in Chapter 4. The rst one is concerned with the asymptotic behavior of random delay FitzHugh- Nagumo lattice systems driven by nonlinear Wong-Zakai noise. We obtain a new result ensuring that such a system approximates the corresponding deterministic system when the correlation parameter of Wong-Zakai noise goes to in nity rather than to zero. We rst prove the existence of tempered random attractors for the random delay lattice systems with a nonlinear drift function and a nonlinear di usion term. The pullback asymptotic compactness of solutions is proved thanks to the Ascoli-Arzel a theorem and uniform tail- estimates. We then show the upper semi-continuity of attractors as the correlation parameter tends to in nity. As for the second problem, we consider the corresponding deterministic version of the previous model, and study the convergence of attractors when the delay approaches zero. Namely, the upper semicontinuity of attractors for the delay system to the nondelay one is proved. Eventually, existence and connection of numerical attractors for discrete-time p-Laplace lattice systems via the implicit Euler scheme are proved in Chapter 5. So far, it remains open to obtain a numerical attractor for a non-autonomous (or stochastic) lattice system, and thus we can at least investigate numerical attractors for the deterministic and non- delayed version of p-Laplace lattice equations. The numerical attractors are shown to have an optimized bound, which leads to the continuous convergence of the numerical attractors 2 when the graph of the nonlinearity closes to the vertical axis or when the external force vanishes. A new type of Taylor expansions without Fr echet derivatives is established and applied to show the discretization error of order two, which is crucial to prove that the numerical attractors converge upper semi-continuously to the global attractor of the original continuous-time system as the step size of the time goes to zero. It is also proved that the truncated numerical attractors for nitely dimensional systems converge upper semi- continuously to the numerical attractor and the lower semi-continuity holds in special cases. The results of our investigation in this thesis are included in the following papers: S. Yang, Y. Li, Q. Zhang and T. Caraballo, Stability analysis of stochastic 3D Lagrangian- averaged Navier-Stokes equations with in nite delay, J. Dynam. Di erential Equations, Published Online, (2023), Doi: 10.1007/s10884-022-10244-0. S. Yang, T. Caraballo and Y. Li, Dynamics and stability analysis for stochastic 3D Lagrangian-averaged Navier-Stokes equations with in nite delay on unbounded do- mains, Appl. Math. Optim., (submitted). S. Yang, T. Caraballo and Y. Li, Invariant measures for stochastic 3D Lagrangian- averaged Navier-Stokes equations with in nite delay, Commun. Nonlinear Sci. Nu- mer. Simul., 118 (2023), pp. 107004, 21. S. Yang, Y. Li and T. Caraballo, Dynamical stability of random delayed FitzHugh- Nagumo lattice systems driven by nonlinear Wong-Zakai noise, J. Math. Phys., 63 (2022), pp. 111512, 32. Y. Li, S. Yang and Tom as Caraballo, Optimization and convergence of numerical at- tractors for discrete-time quasi-linear lattice system, SIAM J. Numer. Anal., (to ap- pear), 2023.
Reduced Basis Method applied to the Smagorinsky Turbulence Model
(2022-06-03) Caravaca García, Cristina; Chacón Rebollo, Tomás; Gómez Mármol, María Macarena; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
This PhD dissertation addresses the numerical simulation of models that simulate the behavior of turbulent flows through reduced-order techniques. The numerical simulation of this kind of flows is complex and pricey, as well as necessary to the Eco-efficient building optimized design, among many others applications in engineering and architecture. The integration of reduced-order techniques is the key to reducing by orders of magnitude the time and computational cost in the numerical simulation of these problems. In this dissertation, we use the Smagorinsky model, a Large Eddy Simulation (LES) model based upon the Navier-Stokes equations that allows for the resolution of turbulent flows with coarser meshes. Even then, the computational cost is high, especially in 3D cases. With respect to the Reduced Order Model (ROM), there exist some techniques to obtain the ROM. In this dissertation, we focus on the development of Reduced Basis (RB) method. Upon an ancillary basis, we shall use Proper Orthogonal Decomposition (POD). For ROM obtainment, it is necessary to compute the error between the approximated model and the reduced model through the RB method, which could become very expensive and complex. This is the reason to study a posteriori estimates to estimate the error and which computation is faster. The Smagorinsky model is non-linear since it is derived by the Navier-Stokes equations and the estimator development for non-linear problems requires the use of adapted mathematical techniques. For steady non-linear models, we find estimates based on the Brezzi-Rappaz-Raviart (BRR) theory of non-singular branches approximation of parametric non-linear problems. It is a theory essentially based upon the Implicit function theorem. This estimator has already been developed for steady flows, although it has only be applied to 2D flows. Therefore, we shall start applying this estimator to the 3D case, obtaining large reductions in time and computational cost. We also apply this estimator to a realistic design problem for a cloister focused on the thermal comfort optimization of the ground floor. The parameters to consider for the problem are the height and width of the corridors around the cloister. We obtain an optimal answer by analyzing 625 possibilities in 16 minutes. One of the main challenges addressed in this dissertation is to extend the a posteriori estimator to unsteady problems. To start, it is necessary to analyze previous studies on a priori estimations that involve velocity and pressure. Thus, we are able to develop an a posteriori estimator under some hypothesis. Furthermore, we develop an alternative based Kolmogórov’s theory of statistical equilibrium, based on the existence of an energy cascade that spreads the energy from large eddies to the smallest ones, dissipating the energy thanks to viscosity. This cascade generates an inertial energy spectrum with a determined shape that we use as the estimator. We have validated this estimator with an academic test, using a POD+Greedy strategy. We obtain similar results using the estimator and the committed real error.
Finite-dimensionality of attractors for dynamicl systems wigh applications: deterministic and random settings
(2021-01-27) Cunha, Arthur Cavalcante; Langa Rosado, José Antonio; Carvalho, Alexandre Nolasco; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
In this work we obtain estimates on the fractal dimension of attractors in three different settings: global attractors associated to autonomous dynamical systems, uniform attractors associated to non-autonomous dynamical systems and random uniform attractors associated to non-autonomous random dynamical systems. Firstly we give a simple proof of a result due to Mañé (Springer LNM 898, 230242, 1981) that the global attractor A (as a subset of a Banach space) for a map S is finite-dimensional if DS(x) =C(x)+L(x), where C is compact and L is a contraction (and both are linear). In particular, we show that if S is compact and differentiable then A is finite-dimensional. Using a smoothing property for the differential DS we also prove that A has finite fractal dimension and we make a comparison of this method with Mañés approach. We give applications to an abstract semilinear parabolic equation and to 2D Navier-Stokes equations. Secondly we prove using a smoothing method that uniform attractors have finite fractal dimension on Banach spaces, with bounds in terms of the dimension of the symbol space and a Kolmogorov entropy number. We also show that the smoothing property is useful to prove the finite-dimensionality of uniform attractors in more regular Banach spaces. In addition, we prove that the finite-dimensionality of the hull of a time-dependent function is fully determined by the tails of the function. We give applications to non-autonomous 2D Navier- Stokes and reaction-diffusion equations. Thirdly we prove using a smoothing and a squeezing method that random uniform attractors have finite fractal dimension. Neither of the two methods implies the other. Estimates on the dimension are given in terms of the dimension of the symbol space plus a term arising from the smoothing/squeezing property; the smoothing is applied also to more regular spaces. In this setting we give applications to a stochastic reaction-diffusion equation with scalar additive noise. In addition, a random absorbing set which absorbs itself after a deterministic period of time is constructed.
Robustness of nonuniform and random exponential dichotomies with applications to differential equations
(2022-03-17) Oliveira Sousa, Alexandre N.; Langa Rosado, José Antonio; Carvalho, Alexandre Nolasco; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
In this thesis, we study hyperbolicity for deterministic and random nonautonomous dynamical systems and their applications to differential equations. More precisely, we present results in the following topics: nonuniform hyperbolicity for evolution processes and hyperbolicity for nonautonomous random dynamical systems. In the first topic, we study the robustness of the nonuniform exponential dichotomy for continuous and discrete evolution processes. We present an example of an infinitedimensional differential equation that admits a nonuniform exponential dichotomy and apply the robustness result. Moreover, we study the persistence of nonuniform hyperbolic solutions in semilinear differential equations. Furthermore, we introduce a new concept of nonuniform exponential dichotomy, provide examples, and prove a stability result under perturbations for it. In the second topic, we introduce exponential dichotomies for random and nonautonomous dynamical systems. We prove a robustness result for this notion of hyperbolicity and study its applications to random and nonautonomous differential equations. Among these applications, we study the existence and continuity of random hyperbolic solutions and their associated unstable manifolds. As a consequence, we obtain continuity and topological structural stability for nonautonomous random attractors.
Study of Optimal Design Problems by the Regularity Method in Nonlinear Equations
(2022-01-26) Vásquez Varas, Donato Maximiliano; Casado Díaz, Juan; Conca Rosende, Carlos; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
This thesis is devoted to the study of an optimal design problem, which is the maximization of the internal energy for the solution of a p-Laplacian equation for a two-phase material. The control variable is the region to be filled with restricted amount of the best material. In general this type of problems has no solution and therefore it is necessary to work with a relaxed formulation. We obtain a relaxed formulation for this problem using the homogenization theory. By means of the relaxation by homogenization we get a relaxed formuation, which in turns allow us to obtain some smoothness results. Namely, we show that the flux is in the Sobolev space H1( )N and that the optimal proportion of the materials is differentiable in the orthogonal direction to the flux for the solutions of the relaxed problem. This allows us to prove that the non relaxed problem does not have any solution when f = 1 and the domain is smooth, bounded and simply connected. For the relaxed formulation we develope two algorithms, a feasible directions method and an alternating minimization method. We show the convergence for both of them and we provide an estimate for the error. When p > 2 both methods are only well defined for a finitedimensional approximation, because of this we also study the difference between solving the finite-dimensional and the infinite-dimensional problems. Although the error bounds for both methods are similar, numerical experiments show that the alternating minimization method works better than the feasible directions one. We also study the problem of minimizing the first eigenvalue of the p-Laplacian operator for a two-phase material. We prove that there exists a relation between this problem and the maximization of the energy. Through this relation we provide a relaxed formulation of the problem and prove some smoothness results for these solutions. As a consequence we show that if is of class C1;1, simply connected with connected boundary, then the unrelaxed problem has a solution if and only if is a ball. We provide an algorithm to approximate the solutions of the relaxed problem and perform some numerical simulations.
Study of PDE-ODE Glioblastoma model with nonlinear diffusion and chemotaxis
(2021-11-29) Fernández Romero, Antonio; Guillén González, Francisco Manuel; Suárez Fernández, Antonio; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
This thesis is dedicated to modeling and analyzing mathematically the development of Glioblastoma. Thanks to considering the vasculature as an additional variable, it is possible to obtain more realistic mathematical models from the biological point of view and, in addition, to introduce the possibility of different types of tumor cell movement such as non-linear diffusion or chemotaxis related to the vasculature. In the Introduction (Chapter 1), we present the problem that we will studied in this thesis. We begin explaining the biological characteristics of Glioblastoma and we mention some studies made with real data and using mathematical models. Later, we design a general PDE-ODE model with nonlinear diffusion and chemotaxis detailing the modeling of the Glioblastoma effects. In addition, we present three models obtained from the general model, which we study in the different Chapters, with their main results. Finally, we will discuss the differences between the nonlinear diffusion and chemotaxis models and show some open problems. In Chapter 2, we study the PDE-ODE system with linear diffusion (and without chemotaxis) obtained as a simplification of the general Glioblastoma model introduced in Chapter 1. Mainly, we prove the existence and uniqueness of the global classical solution in time using a fixed point argument. Furthermore, we show some long-term behaviour results of the solution depending on some conditions in the parameters which appear in the model. In Chapter 3, we analyse a PDE-ODE model derived form the general one, which includes a nonlinear anisotropic diffusion term with a diffusion rate that increases relative to the vasculature and without chemotaxis. First, we prove the existence of global strong-weak solutions in time using a regularization technique through artificial diffusion in the ODE system and a fixed point argument. Furthermore, the long-term behaviour results of the critical points are given under some constraints on the parameters. Finally, we design a completely discrete finite element numerical scheme for the model that preserves the point and energy estimates of the continuous problem. In Chapter 4, we prove through numerical simulations that the model considered in Chapter 3 captures different types of tumor growth by suitably changing the parameters of the model. First, we make a dimensionless study in order to reduce the number of parameters. Later, we detect the main parameters that determine the different widths of the ring formed by proliferative and necrotic cells and the different regular/irregular behaviour of the tumor surface; aspects that define in many cases the aggressiveness of tumor. In Chapter 5, we consider the third PDE-ODE model obtained from the general one presented Chapter 1, including a chemotaxis term directed to vasculature and linear diffusion. First, we obtain some a priori estimates for the (possible) solutions of the model. In particular, under some constraints on the parameters, we obtain that the system can not produce blow-up in finite time. Next, we design a totally discrete finite element scheme for the model that preserves some point estimates of the continuous problem. Finally, in Chapter 6, we make a similar study to the Chapter 4, although now the model used is the one that includes the chemotaxis term.
Singularly nonautonomous semilinear evolution equations with almost sectorial operators
(2021-09-21) Boldrin Belluzi, Maykel; Caraballo Garrido, Tomás; Schiabel, Karina; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
In this work we consider the singularly nonautonomous semilinear parabolic problem ut + A(t)u = F(u); t > ; u( ) = u0; in a Banach space X, where A(t); t 2 R, is a family of uniformly almost sectorial operators. The term singularly nonautonomous express the fact that the linear part of the equation, A(t) : D X ! X, is time-dependent and the almost sectoriality of the family A(t) comes from a deficiency in its resolvent estimate. For this semilinear problem in the abstract setting we study local well-posedness, regularity of the solution and the asymptotic dynamics of the problem. To illustrate the ideas developed for the abstract initial value problem, we consider a singularly nonautonomous reaction-diffusion equation in a domain with a handle. This type of domain consists in a subset of RN, 0 = [ R0, where is an open set of RN and R0 is diffeomorphic to a subset (0; 1) R. The “handle” refers to this line segment R0 attached to . In 0 we consider the following reaction-diffusion equation [equation]. This equation generates a singularly nonautonomous evolution equation with almost sectorial operator and local well-posedness, existence of strong solution and existence of pullback attractor are studied, in the lights of the abstract theory developed. In particular, in order to obtain existence of attractors, the system above will be decouple, originating two evolution equations: one with Neumann homogeneous boundary condition in and another with nonhomogeneous and time-dependent Dirichlet boundary conditions in R0. The properties of those two decoupled equations are thoughtfully studied and from them, estimates on the pullback attractor are obtained.
Análisis y control de algunas EDPS no lineales
(2021) Marín Gayte, Irene; Fernández Cara, Enrique; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
En este trabajo se presentan varios resultados de tipo teórico y numérico para diversos problemas diferenciales. Comenzamos analizando un resultado de existencia de solución “admisible” para las EDPs de Navier-Stokes con condiciones de contorno de tipo Dirichlet. A continuación, tratataremos dos problemas de control óptimo multi-objetivo asociados a EDPs estacionarias (elíptica lineal y semi-lineal y Navier-Stokes). Por otro lado, estudiaremos problemas de tiempo mínimo para EDOs y para la ecuación del calor. También, obtendremos y analizaremos resultados de controlabilidad nula para una EDP parabólica quasi-lineal. Finalmente, presentaremos métodos de aproximaci ón numérica de controles nulos parabólicos semi-lineales basados en mínimos cuadrados. A lo largo de la Historia el hombre siempre ha estado en constante búsqueda de leyes y principios que rijan formas o fenómenos naturales, con el propósito de explicar o entender el comportamiento de la Naturaleza. Así, el francés Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) enunció, en 1744, el principio de Mínima Acción, por el cual se establece que: “En todo cambio que se produzca en la Naturaleza, la cantidad de acción necesaria ha de ser la mínima posible”. Este es un principio físico que posteriormente las Matemáticas han fundamentado rigurosamente. En particular, se han desarrollado las técnicas necesarias para dar respuesta a una amplia clase de problemas de optimización, originándose así la Teoría de Control. El control de ecuaciones y sisemas diferenciales ha recibido mucha atención en los últimos tiempos. En particular, el estudio de problemas asociados a EDOs y EDPs no lineales ha generado una amplia y profunda área de investigación, dando informaciones cruciales sobre un número creciente de fenómenos de las distintas ramas de la Ciencia como Física, Biología, Economía, Medicina, etc. e Ingeniería. Muchos son los campos donde se presentan retos para la Teoría de Control. En algunos casos se confía en ser capaces de resolver éstos mediante avances tecnológicos que permitan la implementaci ón de controles más eficientes; es el caso, por ejemplo, del control molecular mediante tecnología láser o de la Robótica. Por otro lado, el control de fluidos presenta grandes retos debido a su poder para evitar desastres medioambientales, como las inundaciones. En este campo, las ecuaciones de Navier-Stokes nos ayudan a modelar y describir el movimiento de los fluidos. Este control puede aplicarse también al campo aeroespacial, en el que se busca optimizar la forma o perfil del ala de una aeronave, de manera que se gobierne el flujo de aire que hay a su alrededor. También tienen relevancia aplicaciones en Medicina, donde se pretende controlar el comportamiento de los fluidos que invaden células o moléculas que se incorporan a la sangre; por ejemplo, en personas diabéticas debemos controlar la concentración de glucosa e insulina. En todas estas aplicaciones se necesitan importantes avances teóricos y aunque en los últimos a˜nos se ha progresado considerablemente en el estudio de la Teoría de Control, aún quedan multitud de preguntas y retos sin resolver. Así la memoria está dividida en seis capítulos. Cada uno de ellos aborda un problema distinto. En el primer capítulo, se da una nueva prueba del resultado presentado por Caffarelli-Kohn- Nirenberg en 1982. Este trabajo es de corte más teórico y se basa en un análisis detallado de las propiedades de las aproximaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes. En este sentido, somos capaces de demostrar que el límite de las sucesiones dadas por un esquema de Euler semi-implícito, 2 tanto en el caso semi-discretizado como completamente discretizado, aplicado a la ecuación de Navier-Stokes en dimensión 3 con condiciones de Dirichlet, es una solución “admisible” en el sentido de Scheffer. El interés práctico de esta nueva prueba reside principalmente en que esta demostración ayuda en la comprobación de los criterios de Caffarelli-Kohn-Nirenberg y, también, podría ayudar a localizar los puntos singulares, gracias a que las soluciones son límites de sistemas discretos. Las técnicas aquí utilizadas se pueden aplicar a muchos otros esquemas de aproximación que conducen a desigualdades de energía análogas. En el segundo capítulo abordamos un problema de control multi-objetivo. En este caso estudiaremos la existencia, caracterización, aproximación y simulación numérica de los equilibrios de Pareto asociados a problemas de control óptimo para una EDP de Poisson, una EDP elíptica semilineal y las ecuaciones de Navier-Stokes estacionaria. Análogamente, en el capítulo tercero estudiaremos para estos mismos problemas los equilibrios de Nash tanto desde el punto de vista teórico como numérico. En estos dos trabajos hemos utilizado el formalismo de Dubovitskii-Milyoutin en los casos en que los argumentos clásicos de convexidad fallan como es en el caso de las ecuaciones de Navier-Stokes estacionaria. El interés de estos trabajos es que proporcionan una nueva visión de los equilibrios de Pareto y de Nash asociados a problemas de control óptimo, algo que se puede extender y aplicar a muchas otras ecuaciones y sistemas. En el cuarto capítulo estudiamos problemas de tiempo mínimo. ´ Estos se corresponden con problemas de control óptimo en el que dentro del funcional que se desea minimizar se incluye también la variable temporal, de modo que no sólo se desea resolver el problema con mínimo “esfuerzo” posible sino también en el menor tiempo posible. En este caso, comenzaremos el estudio viendo qué ocurre cuando nos encontramos con el problema asociado a EDOs lineales y no lineales. Así, terminaremos el trabajo presentando resultados para la EDP del calor. Se dan varios algoritmos que permiten calcular el óptimo y además se incluyen varias simulaciones numéricas. En el quinto y sexto capítulo abordaremos cuestiones relacionadas con la controlabilidad. El primero de ellos, en el Capítulo 5 es el problema de controlabilidad nula asociada a una EDP de tipo parabólica quasi-lineal. Así, estudiaremos la existencia y caracterización de solución para este problema y terminaremos introduciendo un esquema numérico de aproximación y su posterior simulación en el ordenador. Para la demostración de que el sistema es controlable a cero, usaremos las estimaciones de Carleman y nos serviremos de un sistema auxiliar linealizado. También, el algoritmo de aproximación que usaremos es de tipo quasi-Newton. En el sexto capítulo terminaremos abordando el problema de controlabilidad nula para la EDP del calor semi-lineal. En este caso, para demostrar que el sistema es controlable a cero, usaremos de nuevo las estimaciones de Carleman pero nos basaremos también en una aproximación de tipo mínimos cuadrados, es decir, buscaremos la solución como el mínimo de un funcional cuadrático. El método aquí aportado nos ayuda a caracterizar la solución y poder luego incluir resultados y simulaciones.
Diferenciación respecto de dominios, regularidad Lr para los problemas de stokes y navier-stokes y aplicaciones en control geométrico
(1992-08) Bello Jiménez, Juan Antonio; Fernández Cara, Enrique; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
Aproximación numérica de las ecuaciones primitivas del océano mediante el método de los elementos finitos
(2002-02-22) Rodríguez Gómez, David; Chacón Rebollo, Tomás; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
La Memoria trata sobre el análisis y resolución numérica del modelo de Ecuaciones Primitivas (EP) del Océano mediante el método de los Elementos Finitos (EF), La llamadas Ecuaciones Primitivas son una variante del sistema de Navier-Stokes, donde se imponen las hipótesis de trecho rígido y presión hidrostática, lo que permite reducir una incógnita en el problema original (la velocidad vertical) y determinar otra (la presión) sólo en la superficie oceánica. Ambas simplificaciones conducen a un sistema "reducido" que contiene algunas dificultades adicionales, muy interesantes tanto desde el punto de vista del análisis teórico y numérico como de su resolución efectiva. El propósito principal del trabajo es el diseño de métodos numéricos de coste computacional reducido (principalmente, en términos de requerimientos de memoria) destinados a la resolución de las EP. Se realiza además el análisis numérico de dichos métodos, estudiando propiedades de estabilidad, consistencia, convergencia y estimaciones de error. Por último se exponen resultados numéricos obtenidos mediante la implantación efectiva de algunos de los métodos estudiados. La Introducción de trabajo lleva por objeto exponer el ámbito "físico" en el que se encuadra: la Oceanografía. En ella se introducen las ecuaciones de base de la circulación oceánica y se deduce el modelo reducido de EP objetio de la memoria. Se describen los métodos numéricos más comunes usados en la resolución numérica de modelos 3D en Oceanografía en las últimas tres décadas; en particular, se motiva la elección de los EF en este trabajo. Se repasan asimismo resultados previos concernientes al Análisis Matemático y Numérico de las EP mediante Métodos de EF, algunos de los cuales sirven de base para la memoria. Los capítulos 1 a 3 se dedican al análisis y comparación de diversos Métodos Mixtos y Estabilizados para la aproximación del modelo estacionari
Sobre un problema de control geométrico asociado a inecuaciones variacionales parabólicas
(1982-01-23) Martín Gómez, José Domingo; Valle Sánchez, Antonio; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
• Esta memoria estudia un problema de control geométrico asociado a un problema de Stefan, en principio se estudia la inecuación variacional asociada al problema de Stefan. Después de dar distintas nociones de regularidad de un dominio y de definir varias familias de dominios admisibles se dan teoremas de existencia de dominio optimo en dichas familias. para la resolución numérica del problema se estudia el problema penalizado de control obteniéndose unas condiciones de optimalidad. se estudia la convergencia del problema penalizado al original. Finalmente después de estudiar el problema discretizado por el método de los elementos finitos de lagrange de orden 1 se resuelve computacionalmente un problema modelo.
Controlabilidad de algunas ecuaciones en derivadas parciales no lineales de tipo parabólico e hiperbólico
(2005-05-13) Guerrero Rodríguez, Sergio; Fernández Cara, Enrique; González Burgos, Manuel; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
Esta memoria está esencialmente dividida en cinco partes, En la primera, se realiza una detallada introducción sobre los contenidos novedosos de esta memoria, mientras que al final de la misma se describen otros trabajos realizados paralelamente a la Tesis. En la segunda y tercera parte se incluyen dos trabajos relativos a la cotnrolabilidad de la ecuación del calor semilineal con condiciones frontera de tipo Fourier lineales y no lineales Se trata de un resultado de controlabilidad global cuando el control actúa sobre el sistema de forma distribuida. El tercer capítulo corresponde a un trabajo en el que probamos la controlabilidad exacta local de los sistemas de Navier-Stokes y de Boussinesq con número reducido de controles. En la última parte de esta memoria, se incluye un trabajo correspondientes a un resultado de controlabilidad exacta del sistema de elasticidad de Lamé anisotrópico.
Paralelización en tiempo y espacio de la resolución numérica de algunas ecuaciones en derivadas parciales
(2004-01-14) Albarreal Núñez, Isidoro Ignacio; Fernández Cara, Enrique; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
A contribution to the analysis of time fractional stochastic functional partial differential equations and applications
(2020-05-20) Xu, Jiaohui; Caraballo Garrido, Tomás; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
On the one hand, the classical heat equation∂tu= ∆udescribes heatpropagation in a homogeneous medium, while the time fractional diffusionequation∂αtu= ∆uwith 0< α <1 has been widely used to model anoma-lous diffusion exhibiting subdiffusive behavior. On the other side, when weconsider a physical system in the real world, we have to consider some in-fluences of internal, external, or environmental noises. Besides, the wholebackground of physical system may be difficult to describe deterministical-ly. Therefore, in this thesis, we will construct three models to show theapplications of the time fractional stochastic functional partial differentialequations.In Chapter 2, we study a stochastic lattice system with Caputo fractionalsubstantial time derivative, the asymptotic behavior of this kind of problemis investigated. In particular, the existence of a global forward attractingset in the weak mean-square topology is established. A general theorem onthe existence of solutions for a fractional SDE in a Hilbert space under theassumption that the nonlinear term is weakly continuous in a given sense isestablished and applied to the lattice system. The existence and uniquenessof solutions for a more general fractional SDEs is also obtained under aLipschitz condition.In Chapter 3, the local and global existence and uniqueness of mild solu-tions to a kind of stochastic time fractional impulsive differential equationsare studied by means of a fixed point theorem, and with the help of theproperty ofα-order fractional solution operatorTα(t) and the resolvent op-eratorSα(t). Moreover, the exponential decay to zero of the mild solutionsto this model is also proved. However, the lack of compactness of theα-order resolvent operatorSα(t) does not allow us to establish the existenceand structure of attracting sets, which is a key concept for understandingthe dynamical properties.Therefore, the second model of Chapter 3 is concerned with the well-posedness and dynamics of delay impulsive fractional stochastic evolutionequations with time fractional differential operatorα∈(0,1). After estab-lishing the well-posedness of the problem, and a result ensuring the existenceand uniqueness of mild solutions globally defined in future, the existence ofa minimal global attracting set is investigated in the mean-square topology,under general assumptions not ensuing the uniqueness of solutions. Further-more, in the case of uniqueness, it is possible to provide more informationabout the geometrical structure of such global attracting set. In particular,it is proved that the minimal compact globally attracting set for the solution-1 s of the problem becomes a singleton. It is remarkable that the attractionproperty is proved in the usual forward sense, unlike the pullback conceptused in the context of random dynamical systems, but the main point is thatthe model under study has not been proved to generate a random dynamicalsystem.Chapter 4 is devoted to the well-posedness of stochastic time fractional2D-Stokes equations of orderα∈(0,1) containing finite or infinite delay withmultiplicative noise is established, respectively, in the spacesC([−h,0];L2(Ω);L2σ)) andC((−∞,0];L2(Ω;L2σ)). The existence and uniqueness of mild so-lution to such kind of equations are proved by using a fixed-point argument.Also the continuity with respect to initial data is shown. Finally, we con-clude with several comments on future research concerning the challengingmodel: time fractional stochastic delay 2D-Navier-Stokes equations withmultiplicative noise.
Resolubility of linear Cauchy problems on Fréchet spaces and a delayed Kaldor’s model
(2019-09-06) Pereira da Silva, Alex; Caraballo Garrido, Tomás; Universidad de Sevilla. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
The long-run aim of this thesis is to solve delay differential equations with infinite delay of the type d dt u(t) = Au(t)+Zt −∞ u(s)k(t−s)ds+ ft,u(t) , on Fréchet spaces under an extended theory of groups of linear operators; where A is a linear operator, k(s) ⩾ 0 satisfiesR∞ 0 k(s)ds = 1 and f is a nonlinear map. In order to pursue such a goal we study a discrete delay model which explains the natural economic fluctuations considering how economic stability is affected by the role of the fiscal and monetary policies and a possible government inefficiency concerning its fiscal policy decision-making. On the other hand, we start to develop such an extended theory by considering linear Cauchy problems associated to a continuous linear operator on Fréchet spaces, for which we establish necessary and sufficient conditions for generation of a uniformly continuous group which provides the unique solution. Further consequences arises by considering pseudodifferential operators with constant coefficients defined on a particular Fréchet space of distributions, namely FL2loc, and special attention is given to the distributional solution of the heat equation on FL2loc for all time, which extends the standard solution on Hilbert spaces for positive time.

Examinar

Envíos recientes