Doble Grado en Física y Matemáticas

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Ondas gravitacionales
(2025-07-09) Rosendo Pato, Alejandro; Domínguez Álvarez, Álvaro; Física Atómica, Molecular y Nuclear
En el presente trabajo estudiaremos una breve introducción a la teoría general de la relatividad, formulada originalmente por Albert Einstein en la segunda década del siglo XX. Para ello, precisaremos de conceptos de espacios curvos sobre variedades riemannianas e introduciremos el efecto gravitatorio que se produce sobre el espacio-tiempo a través de las ecuaciones de campo de Einstein. Una vez establecido el marco de trabajo, particularizaremos la teoría para describir las ondas gravitacionales, perturbaciones en el espacio-tiempo de reciente detección en centros como LIGO o Virgo.
Predicción de resultados deportivos mediante técnicas de aprendizaje estadístico. Aplicación al tenis
(2025-06-02) Piedras Martínez, Juan; Pino Mejías, José Luis; Estadística e Investigación Operativa
Este trabajo aborda la predicción del resultado de partidos de tenis profesional correspondientes a torneos de Masters 1000 y Grand Slam disputados durante el año 2024, utilizando distintas técnicas de aprendizaje estadístico. En primer lugar se presenta un marco teórico de las distintas técnicas empleadas, con especial énfasis en el Gradient Boosting Machine, un algoritmo que combina modelos débiles para alcanzar una gran capacidad de predicción. Además, se presentan ciertas herramientas de interpretación del modelo construido que permitan entender el origen de las predicciones realizadas. Por otro lado, se introducen varios conceptos clave de este deporte junto a la construcción de una base de estadísticas anuales. Además, se analiza si la inclusión de estas variables en el modelo mejora su capacidad de clasificación. Se presta especial atención al empleo de técnicas de regularización, con el objetivo de mejorar la capacidad predictiva a partir de los datos utilizados, evitando el sobreajuste.
Electric dipole excitation of the halo nucleus 11Be in a discrete basis
(2025-06-04) Pérez García, María; Casal Berbel, Jesús; Física Atómica, Molecular y Nuclear
Halo nuclei have become a major focus in current nuclear physics due to their distinct characteristics which challenge conventional nuclear models. This work focuses on the study of an archetypical halo nucleus, 11Be. The nucleus is modelled as a 10Be-𝑛 two-body system with two different potentials: a Woods-Saxon potential and a Gaussian potential. Using a matrix formalism, we will numerically solve the Schrödinger equation by diagonalizing the Hamiltonian in a known transformed harmonic oscillator basis, using the MATLAB software. In particular, we will try to reproduce different observables of interest that illustrate the halo characteristics of 11Be, focusing primarily on its energy levels, root-mean-square radius and electric dipole transition. For the root-mean-square radius, values of 7.1613 fm (Woods-Saxon) and 6.6733 fm (Gaussian) are obtained. Similarly, regarding the electric dipole transition, the computed results for (𝐸1, 1 2 + → 1 2 −) are equal to 0.2788 e2fm2 and 0.3661 e2fm2, respectively. These values are consistent with the halo nature of the nucleus, which leads to large spacial extension and electromagnetic transition probabilities.
Superficies de Riemann: generalidades, clasificación y dinámica compleja
(2025-07-09) Muñoz Mkrtchian, Rubén; García Vázquez, Juan Carlos; Análisis Matemático
Desde finales del siglo XIX, la iteración de funciones analíticas ha dado lugar a una rama de las Matemáticas muy atractiva: los sistemas dinámicos complejos. Sus fundamentos se deben a los trabajos de los matemáticos franceses Pierre Fatou y Gaston Julia, en 1918. Alrededor de los años 80 del siglo pasado, el tema resurgió con mucha fuerza y desde entonces ha sido profundamente estudiado. Las superficies de Riemann constituyen el marco natural para extender esta teoría más allá del plano complejo. Este Trabajo Fin de Grado (TFG) está estructurado en tres capítulos, con los siguientes objetivos: 1. Introducir el concepto de superficie de Riemann. 2. Definir las funciones analíticas y clasificar las superficies de Riemann. 3. Estudiar la dependencia de la dinámica compleja con el modelo de superficie. Esta memoria pretende ser una guía accesible y rigurosa para que cualquier estudiante de último curso del Grado en Matemáticas pueda iniciarse en este campo del Análisis Complejo. Más allá de una mera traducción o recopilación de libros de texto en inglés, no puedo evitar destacar el esfuerzo en unificar criterios y desarrollar resultados que muchas veces se consideran triviales o, simplemente, ni se mencionan. Como solía decir alguno de mis profesores durante la carrera, es imposible encasillar las Matemáticas por departamentos, tal y como se hace en el Grado por razones logísticas. Y efectivamente, a lo largo del TFG se refleja esta conexión natural entre ramas como el Análisis, la Geometría y la Topología. “Las matemáticas son la creación más bella y poderosa del espíritu humano.”— Stefan Banach
El método de mallado de Lagrange y aplicaciones en Física Cuántica
(2025-06-04) Lucena Pérez, Ángel; Arias Carrasco, José Miguel; Lay Valera, José Antonio; Física Atómica, Molecular y Nuclear
Solving the Schrödinger equation is essential for understanding quantum physical systems. With the exception of a few systems, most are described by Hamiltonians whose mathematical resolution does not provide analytical solutions. Therefore, the application of numerical methods is convenient for their study. This paper presents a method that allows us to solve the time-independent Schrödinger equation in matrix form. The formalism used is based on states located in configuration space (CLS). Its construction begins with a family of orthogonal polynomials. With these, we will calculate relevant physical quantities such as energy or wave functions. First, the results will be compared with potentials with analytical solution such as the Morse potential. Second, it will be applied to potentials of interest in Molecular Physics, such as the Kratzer-Fues, Deng-Fan, and Varshni potentials. Finally, the method will be extended to be applied to 3D systems and the ro-vibrational espectrum of 𝑂2 molecule will be studied. The following pages will describe the theoretical framework of the method and the obtained results with a code implemented in Matlab (which can be consulted in appendix A). Both the code used to implement the method and the visualization of the results were created entirely by the author.
Morfología y dinámica de los vórtices polares en Venus usando técnicas de visión computacional
(2025-07-08) Jiménez Jiménez, Juan María; Peralta Calvillo, Javier; Garate López, Itziar; Física Atómica, Molecular y Nuclear
El vórtice polar sur de Venus es una estructura insólita encontrada en la atmósfera del planeta. Presenta una forma en continuo y errático cambio, que la ha llevado a ser objeto de numerosos estudios desde su descubrimiento. Este trabajo se centra en analizar dicho vórtice usando imágenes procedentes del instrumento VIRTIS a bordo de la misión Venus Express. El foco principal del mismo ha sido desarrollar herramientas parcialmente automatizadas para detectar la posición y evolución dinámica de este vórtice (código disponible en [18]). Para ello, se han combinado técnicas como la detección de contornos, el seguimiento de plantillas (template matching) y la introducción del novedoso flujo óptico como medio de estimación del campo de velocidades. Los resultados muestran una buena coherencia entre los métodos de obtención de velocidades y muestran velocidades de deriva compatibles con la superrotación de la atmósfera del planeta. Entre otros resultados, destaca la localización del centroide del vórtice en posiciones similares a las encontradas en estudios previos, velocidades consistentes con las reportadas en la bibliografía existente, y la novedosa obtención de centros de rotación basada en el rotacional. Este estudio no solo aporta una validación del uso del flujo óptico en contextos de observación polar en el planeta Venus, sino que también abre la puerta a futuras mejoras en la caracterización de otros sistemas atmosféricos complejos que estén basadas en técnicas similares a las desarrolladas.
Nudos, número de cruce y suma conexa
(2025-06-04) Gómez Cirera, Cristina; Silvero Casanova, Marithania; Álgebra
Knot theory is the branch of Topology studying mathematical knots, which can be intuitively described as a piece of rope thatwe tie and afterwardswe glue its endpoints together. Within this framework, this project focuses on a long-standing classical Conjecture stating that the crossing number is additive for the connected sum of knots. We introduce the concepts and ideas needed to understand the Conjecture, and present some specific related results. In particular, we prove the Conjecture for two families of knots: alternating knots and torus knots. In the process, concepts such as the Jones polynomial, Seifert surfaces, and braid groups are explored in depth.
Una Introducción a la teoría de la Información Cuántica
(2025-06-04) Garrido Calzada, Victoriano; Casado Pascual, Jesús; Física Atómica, Molecular y Nuclear
La Mecánica Cuántica es una rama muy amplia de la Física, de gran interés teórico y práctico. En este trabajo nos centraremos en el uso de los resultados de este campo para el procesamiento de la información, lo que se conoce como Teoría de la Información Cuántica. A diferencia de la información clásica, que usa el bit como unidad mínima, veremos que la información cuántica hará uso del cúbit. Además, buscaremos describir algoritmos que nos permitan procesar la información de manera más eficiente de lo que ya lo hacen los ordenadores actuales. Sin embargo, al igual que ocurre con la información clásica, veremos que en todo sistema cuántico pueden producirse interacciones no deseadas con el entorno. Por tanto, daremos también una descripción que nos permita comprender cómo afectan estas interacciones a un sistema cuántico.
Ecuaciones de Stokes y Navier-Stokes
(2025-07-09) García Rodríguez, Luis; González Burgos, Manuel; Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico
Este trabajo tiene como objetivo estudiar las ecuaciones de Stokes (problema lineal) y las de Navier-Stokes (problema no lineal) en el contexto de fluidos incompresibles. Para ello, se deducirán ambos sistemas a partir de principios físicos fundamentales, y se ofrecerá una breve introducción a las herramientas matemáticas necesarias para su análisis. Una vez establecidas las bases teóricas, se abordarán diferentes casos de interés, enfocándonos en la formulación variacional de los modelos, lo que nos permitirá estudiar la existencia y unicidad de solución. En el estudio de las ecuaciones de Stokes, se considerará tanto el caso estacionario —donde se empleará el Teorema de De Rham para manejar la presión 𝑝— como el caso evolutivo, en el que se aplicará el método de Galerkin. En cuanto a las ecuaciones de Navier-Stokes, la presencia del término no lineal introduce una mayor complejidad. Por ello, en el caso evolutivo nos centraremos en analizar las similitudes y diferencias con respecto al modelo lineal. El caso estacionario será tratado en el capítulo final, a partir de diversos ejemplos ilustrativos. 2
Sistemas de dos cuerpos en Física Nuclear: 7 3 Li4 y 7 4Be3
(2024-07-24) Romero Sánchez, Juan; Casal Berbel, Jesús; Arias Carrasco, José Miguel
La Física Nuclear es un campo de la física cuyo estudio requiere en muchas ocasiones de un enfoque fenomenológico. En este trabajo se aborda uno de estos fenómenos en el que se pretende modelar dos núcleos atómicos (7Be y 7Li) mediante una aproximación de dos cuerpos resolviendo la ecuación de Schrödinger de manera matricial. A partir de un potencial fenomenológico que incluirá un término central, una interacción espín-órbita y un término Coulombiano, se obtendrán los autoestados del sistema en bases conocidas (oscilador armónico y oscilador armónico transformado) y se realizarán cálculos de la energía, función de onda de los estados y algunos observables de interés como son la probabilidad de transición eléctrica E2 o el momento cuadrupolar. El uso de métodos numéricos computacionales es indispensable para obtener una solución aproximada a la real. Por ello, se hará un estudio de la convergencia de estos resultados en función de parámetros como el número de elementos de la base o el tipo de funciones de la base en el software MATLAB.
Modelos de optimización y precios en carteras de valores
(2024-06-04) Magán Ruiz, Jorge; Puerto Albandoz, Justo
En este trabajo de fin de grado, tratamos de desarrollar los resultados obtenidos en una novedosa línea de investigación: la aplicación de la optimización binivel en los problemas de programación matemática que formulan la selección de activos en un portfolio, atendiendo a los costes transaccionales y a una estructura binivel para la toma de decisiones. Esta estructura de dos niveles está formada por dos actores principales: Un inversor (caracterizado por asumir un cierto riesgo y buscar un retorno mínimo esperado), que construye su portfolio seleccionando activos que optimicen sus expectativas de obtener beneficios. Un bróker o corredor de bolsa, que gracias a los costes de transacción que impone a sus clientes, obtiene beneficios que busca maximizar haciendo una asignación ´optima a las tarifas por negociar activos para sus usuarios. Entre estos partícipes de mercado surge una competición por anticipar las decisiones racionales de su contraparte, con el objetivo de aumentar los beneficios propios. Dependiendo de cual de ellos tome la iniciativa (sea el líder) y cual de ellos se ajuste a la decisión del otro (sea el seguidor); se formula el problema de optimización binivel. Para explicar los problemas y técnicas de resolución asociados de esta temática seguimos los siguientes pasos: 1. En primer lugar, introduciremos la teoría de portfolio moderna para explicar el subproblema del inversor; en el cual usaremos medidas del riesgo y su formulación equivalente en problemas de programación lineal. También presentaremos la teoría necesaria de la optimización binivel para entender los siguientes apartados. 2. En segundo lugar, presentaremos los modelos para los casos en los que tanto el inversor o el bróker es el líder (y de forma correspondiente el bróker o el inversor es el seguidor); y por ´ultimo lugar, el caso en el que se busca maximizar una función asociada al bienestar social. Consideraremos que los gastos comerciales forman un conjunto continuo; dando lugar a problemas de optimización polinómicos no lineales y no convexos. 3. En tercer lugar, volveremos a presentar los tres modelos previos, pero considerando que los importes por transacción forman un conjunto discreto dando lugar a problemas de optimización lineales y enteros. 4. En cuarto lugar, realizamos unas simulaciones que pongan de manifiesto la validez de nuestros modelos y ofrezcan una serie de resultados para su análisis. Para ello, recurrimos al lenguaje de programación AMPL. 5. En quinto y ´ultimo lugar, haremos una recopilación final y ofreceremos unas conclusiones para concluir el trabajo.
Estados localizados en el espacio de configuración (CLS): aplicación a distintos potenciales y al dímero Be2
(2024-07-10) Cubedo Crespo, Claudia; Arias Carrasco, José Miguel; Casal Berbel, Jesús
The resolution of the Schrödinger equation is a key problem in Quantum Physics, however, since not every Hamiltonian has analytical solutions, in many cases it is necessary to use numerical methods. In this work, a method based on Configuration Localized States (CLS) is presented to obtain the eigenvalues and eigenfunctions of a Hamiltonian. In particular, this method is applied to three potentials: the Morse potential, the Lennard-Jones potential and the potential of the beryllium dimer, Be2 .
Study of the stability of solitons for the non-linear Schrödinger equation
(2024-06-13) Carreño Navas, Fernando; Álvarez Nodarse, Renato; Quintero, Niurka R.
The Nonlinear Schrödinger equation is a fundamental equation in various scientific disciplines, including optics, hydrodynamics, and information transmission using optical fibers. In this work, we study the existence and stability of solitons using analytical and numerical methods, presenting two distinct approaches and comparing their results. Initially,we explore soliton-type solutions in a modified Schrödinger equation, introducing a parameter, 𝜅, to modulate the nonlinearity of the medium and observe differences in the behaviour of solitons. Additionally, we introduce dissipation and a parametric force, which allow us to examine how solitons behave in a more realistic medium. The analysis of the problem reveals stability regions that depend on the new parameters corresponding to dissipation, a parametric force and nonlinearity.
Aplicación de redes neuronales informadas por la física a la resolución numérica de problemas diferenciales
(2024-10-22) Campos García, José Manuel; Doubova Krasotchenko, Anna
In recent years, artificial neural networks have emerged as powerful tools for solving complex problems across various fields, including physics and engineering. This project focuses on applying Physics-Informed Neural Networks (PINNs) to efficiently solve Partial Differential Equations (PDEs), which model numerous physical phenomena. PINNs integrate deep learning with the underlying physics of the system by embedding the governing differential equations directly into the loss function during training. This approach allows for the direct incorporation of boundary and initial conditions, as well as observed data, enabling accurate predictions without the need for large datasets. In this work, we will provide a comprehensive explanation of how neural networks operate, along with the theoretical foundations supporting their ability to approximate differential equations, based on the Universal Approximation Theorem. We explore two PDEs with origin in Physics: the Burgers’ equation and the Navier-Stokes equations, both fundamental in fluid dynamics. These equations are solved using PINNs, showcasing the ability of the method to handle both time-dependent and stationary problems. The results of this project highlight the potential of PINNs for solving both forward and inverse problems. We also analyze the accuracy and efficiency of PINNs by varying different aspects of the model’s design, providing insights into its optimization. This work demonstrates that PINNs provide a scalable and flexible alternative to conventional numerical methods for PDE resolution, opening new possibilities in computational physics and engineering simulations.
Design of nucleation centers for the selective growth of functional nanowires
(2024-10-24) Rodríguez Fuentes, Jorge; Bravo Leon, Alfonso; Budagosky Marcilla, Jorge Alejandro
Las funciones especiales y la teoría cuántica del momento angular
(2024-07-09) Sánchez de Toca Rodríguez, Eva; Álvarez Nodarse, Renato; Rodríguez Quintero, Niurka
This Final Degree Project examines special functions and the quantum theory of angular momentum. The study is organized into five chapters. The first chapter introduces the motivation for the development of this work. The second chapter introduces the hypergeometric differential equation and the Nikiforov-Uvarov method. The third chapter addresses Jacobi polynomials, a type of solution function for the hypergeometric differential equation. The fourth chapter focuses on spherical harmonics, solutions of the Laplace equation in spherical coordinates. Finally, the fifth chapter connects the work of the previous topics with the group theory of angular momentum through generalized spherical harmonics, derived from the study of the representations of the rotation group 𝑆𝑂(3).
The mathematical foundations of the quantum harmonic oscillator
(2024-07-10) Montalbán Vidal, Juan Antonio; Álvarez Nodarse, Renato
Este trabajo tiene como objetivo estudiar y analizar, desde el punto de vista matemático, algunos de los aspectos fundamentales de unos de los sistemas físicos más importantes y que sirve como arquetipo precedente para otros más complejos: el oscilador armónico. Concretamente, nos centraremos en su versión cuántica, estudiando cómo resolver la famosa ecuación de Schrödinger en el caso del oscilador armónico cuántico mediante el método de Nikiforov y Uvarov, seguido de un análisis de otras propiedades como la completitud de las soluciones separables a la anteriormente mencionada ecuación, la caracterización de los autovalores y otras propiedades de interés.
Modelos efectivos para sistemas con una dinámica estocástica subyacente
(2023) Vega Estévez, Esther; Prados Montaño, Antonio; Plata Ramos, Carlos Alberto; Física Atómica, Molecular y Nuclear
En gran variedad de sistemas físicos, como las biomoléculas o los sistemas de baja dimensionalidad como el grafeno, se ha observado experimentalmente la aparición de un fenómeno de metaestabilidad. Esto es, coexisten estados con propiedades elásticas distintas (plegado/desplegado en las biomoléculas, rizado/combado en el grafeno). La existencia de metaestabilidad puede explicarse como consecuencia del acoplamiento entre los modos elásticos del sistema con ciertos grados de libertad internos. En este trabajo revisamos un modelo sencillo propuesto recientemente, con un solo modo elástico y grados de libertad internos modelados como pseudoespines con interacciones a primeros vecinos. Encontramos que aparece metaestabilidad en un cierto rango de temperatura y fuerza aplicadas, lo que está de acuerdo—desde un punto de vista cualitativo—con los resultados experimentales en biomoléculas sencillas como las horquillas de ADN/ARN. Además, analizando la dinámica del sistema encontramos saltos estocásticos entre el estado estable y el metaestable a fuerza constante, así como un fenómeno de histéresis al variar la fuerza a un ritmo constante, de nuevo en acuerdo cualitativo con los experimentos. Los resultados analíticos han sido comparados con simulaciones numéricas construyendo códigos numéricos propios en MATLAB, encontrando siempre un buen acuerdo con la teoría desarrollada.
Caracterización magnética y estructural de aleaciones de alta entropía ricas en hierro producidas por aleado mecánico
(2023) Santiago Andrades, Lucía; Blázquez Gámez, Javier Sebastián; Física de la Materia Condensada
Las aleaciones de alta entropía (HEAs) se han convertido en una de las líneas de investigación punteras de la ´ultima década gracias su enorme campo composicional. Técnicas de producción de estructuras metaestables, como el aleado mecánico por molienda o el enfriamiento ultrarrápido, pueden dar lugar a soluciones sólidas supersaturadas que permiten extender la formación de HEAs frente a técnicas de producción de aleaciones más convencionales. Esta idea es la que se pretende explorar en este trabajo, sintetizando a partir de una mezcla de elementos puros las aleaciones: CoFeNiCrAl0,75 y CoFeNiMnAl0,75. Para ambas aleaciones, cuyas composiciones y microestructuras se han estudiado en diferentes tiempos de molienda mediante XRF y XRD, se han conseguido formar HEAs, ambas con una fase fcc de comportamiento, a priori, paramagnético a temperatura ambiente (caracterizado mediante espectroscopía Mössbauer y VSM). Se ha estudiado, además, la estabilidad térmica de las HEAs mediante tratamiento en DSC, siendo la HEA de la aleación con Mn térmicamente estable hasta los 640 K, mientras que en el caso de la aleación con Cr se tiene una transición mucho más suave que pudiera ser indicativa de la existencia de una fase bcc. Un problema que ha aparecido durante la molienda, realizada en molino planetario de bolas, ha sido la adhesión de ambas muestras a las bolas y paredes de los viales debido a la ductilidad de los elementos usados. Esto ha permitido estudiar el uso del B como abrasivo para desprender las muestras y ver su efecto en la estructura de estas, añadiendo al estudio las aleaciones de CoFeNiCrAl0,75B1,55 y CoFeNiMnAl0,75B1,3, que también se han caracterizado composicional, microstructural, térmica y magnéticamente. Además, con la adición de B a la composición, se ha podido concluir que la entropía configuracional no es la única contribución relevante en la formación de HEAs pues, pese al aumento de la entropía configuracional de la composición, aparecen varias fases y, por tanto, se destruye la HEA obtenida.
Design and optimisation of irreversible heat engines
(2023) Prieto Rodríguez, Irene; Plata Ramos, Carlos Alberto; Prados Montaño, Antonio; Física Atómica, Molecular y Nuclear
Las máquinas térmicas son dispositivos que convierten energía térmica en trabajo útil operando de manera cíclica. Durante siglos, han desempeñado un papel fundamental en el desarrollo industrial y tecnológico. Históricamente, se han empleado únicamente gases y líquidos como sustancia de trabajo, pero los avances técnicos alcanzados en las últimas décadas permiten ampliar las posibilidades experimentales y diseñar también máquinas que operan con una única partícula. Los sistemas de interés en este caso no pueden tratarse a nivel macroscópico y su estudio se enmarca en el campo de la termodinámica estocástica. En este trabajo estudiamos máquinas térmicas mesoscópicas constituidas por una partícula browniana confinada en un potencial armónico e inmersa en un fluido que actúa como baño térmico. Diseñamos un ciclo análogo al clásico motor de Stirling, compuesto por dos ramas isotermas y dos isócoras. Nos centramos en el caso irreversible, no cuasiestático, cuya duración finita permite al dispositivo generar una potencia no nula. Este aspecto es crucial, pues permite plantear la optimización de nuestro ciclo para maximizar la potencia producida, respondiendo así a un interés relevante a nivel práctico. Buscamos los protocolos de control del dispositivo que llevan a la optimalidad, utilizando herramientas del cálculo variacional y de la teoría del control óptimo. Asimismo, exploramos numéricamente la dependencia de la potencia máxima obtenida y la eficiencia correspondiente con los parámetros que caracterizan nuestro sistema.

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